Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
Для начала заметим, что число xa=(1+xa−1)xa−1=(1+xa−1)(1+xa−2)xa−2=...=(1+xa−1)(1+xa−2)⋅...⋅(1+x1)x1=((1+xa−1)(1+xa−2)⋅...⋅(1+x1))⋅18. Значит, знаменатель числа xa,a=1,2,... всегда кратен восьми.
Аналогично, знаменатель числа ya,a=1,2,... всегда кратен десяти.
Предположим, что xm = yn. Тогда получим, что xm−1 = yn−1. Давайте попробуем доказать это.
xm−1+x2m−1=xm=yn=yn−1+y2n−1⇒
xm−1+x2m−1=yn−1+y2n−1⇒
Давайте будем считать, что xm−1≠yn−1. Тогда
xm−1+1≠yn−1+1
xm−1(xm−1+1)≠yn−1(yn−1+1). Противоречие. Значит, xm−1 = yn−1.
Понятно, что и xm−k=yn−k. Для натурального k, который между min(m,n)<k<max(m,n).
1) При m=n.
xm−(n−1)=yn−(n−1)⇒
x1=y1⇒
18=110. Чего не может быть.
2) При m>n.
xm−(n−1)=y1=110. Это невозможен, так как знаменатель числа xa),a=1,2,... всегда кратен восьми.
3) При m>n. Как и в втором пункте,
yn−(m−1)=x1=18. Что так же невозможен, так как знаменатель числа ya),a=1,2,... всегда кратен десяти.
Все три случая противоречивы к предположению, следовательно xm≠yn ни при каких натуральных m и n.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.