Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 9 сынып


x1,x2, және y1,y2, тізбектері, мынадай шарттармен берілген: x1=18, y1=110, xn+1=xn+x2n, yn+1=yn+y2n. Кез келген натурал m және n сандары үшін xm және yn сандарының тең емес екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   0
1 года 8 месяца назад #

Для начала заметим, что число xa=(1+xa1)xa1=(1+xa1)(1+xa2)xa2=...=(1+xa1)(1+xa2)...(1+x1)x1=((1+xa1)(1+xa2)...(1+x1))18. Значит, знаменатель числа xa,a=1,2,... всегда кратен восьми.

Аналогично, знаменатель числа ya,a=1,2,... всегда кратен десяти.

Предположим, что xm = yn. Тогда получим, что xm1 = yn1. Давайте попробуем доказать это.

xm1+x2m1=xm=yn=yn1+y2n1

xm1+x2m1=yn1+y2n1

Давайте будем считать, что xm1yn1. Тогда

xm1+1yn1+1

xm1(xm1+1)yn1(yn1+1). Противоречие. Значит, xm1 = yn1.

Понятно, что и xmk=ynk. Для натурального k, который между min(m,n)<k<max(m,n).

1) При m=n.

xm(n1)=yn(n1)

x1=y1

18=110. Чего не может быть.

2) При m>n.

xm(n1)=y1=110. Это невозможен, так как знаменатель числа xa),a=1,2,... всегда кратен восьми.

3) При m>n. Как и в втором пункте,

yn(m1)=x1=18. Что так же невозможен, так как знаменатель числа ya),a=1,2,... всегда кратен десяти.

Все три случая противоречивы к предположению, следовательно xmyn ни при каких натуральных m и n.