қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 9 класс
Задача №1. Одно и то же натуральное число поделили с остатком на 3, на 18 и на 48. Сумма трех полученных остатков оказалась равна 39. Докажите, что остаток, полученный при делении на 3 равен 1.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все значения параметра $p$, для которых существуют ровно два целых значения $x$, удовлетворяющих неравенству $x^2+5\sqrt2 x+p<0$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Последовательности $x_1$, $x_2$, $\ldots$ и $y_1$, $y_2$, $\ldots$ заданы условиями
$x_1 =\frac{1}{8}$, $y_1 =\frac{1}{10}$, $x_{n+1} = x_n + x_n^2$, $y_{n +1} = y_n + y_n^2$. Докажите, что числа $x_m$ и $y_n$ не равны ни при каких натуральных $m$ и $n$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ угол $A$ прямой, $E$ — точка пересечения диагоналей, точка $F$ — проекция $Е$ на сторону $AB$. Докажите, что углы $DFE$ и $CFE$ равны.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)