Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. $ABC$ үшбұрышында іштей сызылған шеңбер $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларын сәйкесінше $A_1$, $B_1$ және $C_1$ нүктелерінде жанап өтеді. $AC_1B_1$ және $CA_1B_1$ үшбұрыштарының ортоцентрлерін сәйкесінше $H_1$ және $H_2$ арқылы белгілесек, онда $AH_1H_2C$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызуға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Шахмат турнирінде 11 адам ойнайды. Турнир барысында әрбір ойыншы басқа әрбір ойыншымен дәл бір партия ойнауы тиіс. Әрбір партия үшін ұтқан адамға 1 ұпай, тең ойнаған адамға $0,\!5$ ұпай, ал ұтылған адамға 0 ұпай беріледі. Егер турнир аяқталған соң ойыншы максимал мүмкін ұпай санының $75\%$-нан кем емес ұпай санын жинаса, оған дәреже беріледі. Ең көп дегенде неше ойыншыға дәреже берілуі мүмкін?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. ${{S}_{n}}$ арқылы $\dfrac{1}{{{a}_{1}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\ldots +\dfrac{1}{{{a}_{n}}}=1$ теңдігін қанағаттандыратын $n$ натурал санның $({{a}_{1}},\,{{a}_{2}},\ldots ,\,{{a}_{n}})$ реттелген қатарларының жалпы санын белгілейік. ${{S}_{7}}$ санының жұптығын анықта.
комментарий/решение

Есеп №4. Оң $a$, $b$ және $c$ сандары үшін $abc=1$ теңдігі орындалатыны белгілі болса, келесі теңсіздікті дәлелде: $$\dfrac{1}{a(b+c)}+\dfrac{1}{b(c+a)}+\dfrac{1}{c(a+b)}\le \dfrac{a+b+c}{2}.$$
комментарий/решение(8)

Есеп №5. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $AB < AC$, оның $BB_1$ және $CC_1$ биіктіктері $H$ нүктесінде, ал $B_1C_1$ және $BC$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады, $M$ — $BC$ қабырғасының ортасы. $MH$ және $AP$ түзулері $K$ нүктесінде қиылысатыны белгілі болса, $KM$ түзуі $\angle {{B}_{1}}KB$ бұрышының биссектрисасы болатынын дәлелде.
комментарий/решение(9)

Есеп №6. Бірлік клеткаларға бөлінген $10\times 10$ шаршыны клетка қабығаларының бойымен:
а) I түрдегі 4 фигураға және II түрдегі 21 фигураға;
ә) I түрдегі 4 фигураға, II түрдегі 19 фигураға және III түрдегі 2 фигураға бөлуге бола ма?
(Фигураларды еркін бұруға және төңкеруге болады).

комментарий/решение(1)