Республиканская олимпиада по математике, 2009 год, 9 класс

В шахматном турнире участвуют 11 человек. За весь турнир каждый игрок играет с каждым другим ровно одну партию. В каждой партии игроку за выигрыш начисляется — $1$ очко, за ничью — $0,\!5$ очков, а за проигрыш — 0 очков. Если по окончании турнира игрок набирает не менее $75\%$ от максимального возможного количества очков, которые он может набрать, то ему присваивается разряд. Какое наибольшее количество участников турнира могут получить разряд?

Комментарий/решение

Ответ:6

Сначала покажем пример доказывающий, что 6 возможно. Пусть игроки $A_1,\dots A_6$ сыграли между собой на ничью. А также каждый из них выиграл игроков $A_7,\dots A_{11}$. Тогда $A_j$ ($1\leq j\leq 6$) сыграл 5 партий на ничью и 5 выиграл. Значит у каждого из них по $7.5$ очков и они получили разряд.

Допустим, что может быть больше 6 людей у которые получили разряд. Заметим, что с каждой игрой общее кол-во очков увеличивается на 1. Значит всего есть $C_{11}^{2}=55$ очков. Но тогда получившие разряд людей в сумме взяли не меньше чем $7\times7.5=52.5$ очков. Отсюда выходит, что кол-во взявших разряд ровно 7. Но тогда 4 не получившие разряд в своих партиях должны получить $C_{4}^{2}=6$ очков. В таком случае кол-во очков больше 55. Противоречие. $\blacksquare$.