Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
неравенство можно записать как
abca(b+c)+abcb(c+a)+abcc(a+b)≤a+b+c2
bcb+c+aca+c+aba+b≤a+b+c2
Использовав неравенство между средним арифметическим и гармоническим
11b+1c+11c+1a+11b+1a≤a+b+c2
11b+1c⋅22 leqb+c4
Проделав те же действия , и просуммировав получим требуемое
Это неравенство можно записать так:
abca(b+c)+abcb(a+c)+abcc(a+b)
Затем, bcb+c+aca+c+aba+b
По неравенству AM-GM имеем:
bc≤(b+c)24
bcb+c≤(b+c)24(b+c)=b+c4
Аналогично делаем это с остальными и в сумме получаем:
bcb+c+aca+c+aba+b≤b+c4+a+c4+a+b4≤a+b+c2
2(a+b+c)4≤a+b+c2
a+b+c≤a+b+c
1ab+ac+1bc+ab+1ac+bc≤a+b+c2
По дробному Коши-Шварц выполняется :
1ab+ac≤14(1ab+1ac)
Значит :
1ab+ac+1bc+ab+1ac+bc≤14(1ab+1ac+1bc+1ab+1ac+1bc)
Теперь докажем, что :
14(1ab+1ac+1bc+1ab+1ac+1bc)≤a+b+c2
1ab+1ac+1bc≤a+b+c
abc(1ab+1ac+1bc)≤abc(a+b+c)
a+b+c≤a+b+c
Значит :
1ab+ac+1bc+ab+1ac+bc≤14(1ab+1ac+1bc+1ab+1ac+1bc)≤a+b+c2
Заметим , что
1a(b+c)=abca(b+c)=bc(b+c)
По КБШ имеем(b+c)(ac+1c)≥(√abc+1)2=4 ⇒1b+c≤ac+1c4⇔bcb+c≤bc(ac+1c)4
Аналогично с другими дробями , и получаем
1a(b+c)+1b(c+a)+1c(a+b)≤bc(ac+1c)+ac(ba+1a)+ab(bc+1b)4=c×abc+b+a×abc+c+b×abc+a4=2(a+b+c)4=a+b+c2 Что и требовалось доказать .
неравенство можно записать как
abca(b+c)+abcb(c+a)+abcc(a+b)≤a+b+c2
bcb+c+aca+c+aba+b≤a+b+c2
11b+1c+11c+1a+11b+1a≤a+b+c2
Использовав неравенство между средним арифметическим и гармоническим 11b+1c≤b+c4
Проделав те же действия с другими остальными и просуммировав получим требуемое
11b+1c+11c+1a+11b+1a≤a+b+c2
Из условия следует, bcb+c, если вместо 1 подставить abc. Потом из Коши следует:bcb+c≤bc2√bc=√bc2. Достаточно потом доказать, что √bc+√ac+√ab≤a+b+c. Что верно, т.к если оба неравенства умножить на два и a+b≥2√ab, и просто про суммируем все такие неравенства.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.