Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып


Оң a, b және c сандары үшін abc=1 теңдігі орындалатыны белгілі болса, келесі теңсіздікті дәлелде: 1a(b+c)+1b(c+a)+1c(a+b)a+b+c2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   4
9 года 3 месяца назад #

неравенство можно записать как

abca(b+c)+abcb(c+a)+abcc(a+b)a+b+c2

bcb+c+aca+c+aba+ba+b+c2

Использовав неравенство между средним арифметическим и гармоническим

11b+1c+11c+1a+11b+1aa+b+c2

11b+1c22 leqb+c4

Проделав те же действия , и просуммировав получим требуемое

  1 | Модератормен тексерілді
7 года 3 месяца назад #

Это неравенство можно записать так:

abca(b+c)+abcb(a+c)+abcc(a+b)

Затем, bcb+c+aca+c+aba+b

По неравенству AM-GM имеем:

bc(b+c)24

bcb+c(b+c)24(b+c)=b+c4

Аналогично делаем это с остальными и в сумме получаем:

bcb+c+aca+c+aba+bb+c4+a+c4+a+b4a+b+c2

2(a+b+c)4a+b+c2

a+b+ca+b+c

  0
6 года 4 месяца назад #

1ab+ac+1bc+ab+1ac+bca+b+c2

По дробному Коши-Шварц выполняется :

1ab+ac14(1ab+1ac)

Значит :

1ab+ac+1bc+ab+1ac+bc14(1ab+1ac+1bc+1ab+1ac+1bc)

Теперь докажем, что :

14(1ab+1ac+1bc+1ab+1ac+1bc)a+b+c2

1ab+1ac+1bca+b+c

abc(1ab+1ac+1bc)abc(a+b+c)

a+b+ca+b+c

Значит :

1ab+ac+1bc+ab+1ac+bc14(1ab+1ac+1bc+1ab+1ac+1bc)a+b+c2

  0
1 года 8 месяца назад #

Заметим , что

1a(b+c)=abca(b+c)=bc(b+c)

По КБШ имеем(b+c)(ac+1c)(abc+1)2=4   1b+cac+1c4bcb+cbc(ac+1c)4

Аналогично с другими дробями , и получаем

 1a(b+c)+1b(c+a)+1c(a+b)bc(ac+1c)+ac(ba+1a)+ab(bc+1b)4=c×abc+b+a×abc+c+b×abc+a4=2(a+b+c)4=a+b+c2 Что и требовалось доказать .

  1
1 года 8 месяца назад #

неравенство можно записать как

abca(b+c)+abcb(c+a)+abcc(a+b)a+b+c2

bcb+c+aca+c+aba+ba+b+c2

11b+1c+11c+1a+11b+1aa+b+c2

Использовав неравенство между средним арифметическим и гармоническим 11b+1cb+c4

Проделав те же действия с другими остальными и просуммировав получим требуемое

11b+1c+11c+1a+11b+1aa+b+c2

  1
1 года 5 месяца назад #

1ab+ac12a2bc,1ab+ac+1bc+ab+1ac+bc12a2bc+12b2ac+12c2ab=ab+bc+ac2abca+b+c2

пред. Правка 3   0
6 месяца 20 дней назад #

Из условия следует, bcb+c, если вместо 1 подставить abc. Потом из Коши следует:bcb+cbc2bc=bc2. Достаточно потом доказать, что bc+ac+aba+b+c. Что верно, т.к если оба неравенства умножить на два и a+b2ab, и просто про суммируем все такие неравенства.

  1
6 месяца 19 дней назад #

The easiest problem to exist on респа, и по соответствию моя первая решённая оттуда задача...