қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. Оң нақты $a,b,c$ сандары үшін теңсіздікті дәлелде: $\dfrac{{{a}^{2}}-bc}{2{{a}^{2}}+bc}+\dfrac{{{b}^{2}}-ac}{2{{b}^{2}}+ac}+\dfrac{{{c}^{2}}-ab}{2{{c}^{2}}+ab}\le 0$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Центрі ${{I}_{a}}$ болатын сыртта іштей сызылған шеңбер $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасын, $AC$ және $AB$ қабырғаларының созындысын жанайды. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $B$ төбесі жатқан $AC$ доғасының ортасын ${{B}_{1}}$ деп белгілейік. ${{I}_{a}}$ және $A$ нүктелерінің ${{B}_{1}}$ нүктесінен бірдей қашықтықта жатқанын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Екі күнде өтетін математикалық олимпиадаға тоғызыншы кластан 15 оқушы қатысты. Әр күнде әрбір оқушы 20-дан аспайтын теріс емес бүтін ұпай санын иемденді. Ешбір екі оқушы бірінші күнде де, екінші күнде де бірдей ұпай санын алған жоқ. Екінші күнгі есептер қиындау болғандықтан әрбір оқушы екінші күні бірінші күнге қарағанда аз ұпай алды. Екі күнді қоса есептегенде, ең көп дегенде қанша оқушы бірдей ұпай санын алуы мүмкін?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Шеңберге іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышы берілген. Оның $AB$ және $CD$ қабырғаларының, сәйкесінше $B$ және $C$ төбелерінің арғы жағына, созындылары $M$ нүктесінде қиылысады. $M$-нан $AC$ және $BD$ диагоналдарына түсірілген перпендикулярлардың табандарын сәйкесінше $P$ және $Q$ деп белгілейік. $KPQ$ үшбұрышының бұрыштарын табыңдар, мұндағы $K$ нүктесі — $AD$ қабырғасының ортасы.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Натурал $n\ge 2$ саны берілген. Теңдеудің барлық нақты $\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}, \ldots,{{x}_{n}} \right)$ шешімдерін табыңдар: $${{\left( 1-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+\ldots+{{\left( {{x}_{n-1}}-{{x}_{n}} \right)}^{2}}+{{x}_{n}}^{2}=\dfrac{1}{n+1}.$$
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №6. Жазықтықтан ең көп дегенде мына шартты қанағаттандыратын қанша түзу таңдап алуға болады: әрбір таңдалған түзуде ең кем дегенде үш нүктесі жататын 8 нүктеден тұратын жиын табылады?
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)