Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс
Дано натуральное число n≥2. Найдите все действительные решения (x1,x2,x3,…,xn) уравнения
(1−x1)2+(x1−x2)2+…+(xn−1−xn)2+x2n=1n+1.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
По неравенству между средним квадратичным и арифметическим √(1−x1)2+(x1−x2)2+...+x2nn+1≥|1−x1|+|x1−x2|+...+|xn|n+1≥1−x1+x1−x2+...+xnn+1=1n+1 откуда возведя в квадрат получаем неравенство, равенство выполнятся когда a1=a2=...=an
То есть получаем решение (x1,x2,...,xn)=(nn+1,n−1n+1,....,1n+1)
В вышеуказанном решении всё верно, просто опущен довольно очевидный факт, что |x|≥x для любого вещественного x. В развернутой форме неравенства выглядели бы так:
√(1−x1)2+(x1−x2)2+...+x2nn+1≥|1−x1|+|x1−x2|+...+|xn|n+1≥1−x1+x1−x2+...+xnn+1=1n+1
Советую вам впредь быть более внимательным и пытаться самому понять решение прежде чем выдвигать такие обвинения.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.