Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс


Дано натуральное число n2. Найдите все действительные решения (x1,x2,x3,,xn) уравнения (1x1)2+(x1x2)2++(xn1xn)2+x2n=1n+1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   2
6 года 1 месяца назад #

По неравенству между средним квадратичным и арифметическим (1x1)2+(x1x2)2+...+x2nn+1|1x1|+|x1x2|+...+|xn|n+11x1+x1x2+...+xnn+1=1n+1 откуда возведя в квадрат получаем неравенство, равенство выполнятся когда a1=a2=...=an

То есть получаем решение (x1,x2,...,xn)=(nn+1,n1n+1,....,1n+1)

  -2
6 года 1 месяца назад #

Matov, что-бы выполнялось неравенство о средних, числа 1x1,x1x2,...,xn должны быть положительными. Но они не всегда положительны. Да, ты нашёл один из ответов, но не факт что все.

пред. Правка 3   0
6 года 1 месяца назад #

В вышеуказанном решении всё верно, просто опущен довольно очевидный факт, что |x|x для любого вещественного x. В развернутой форме неравенства выглядели бы так:

(1x1)2+(x1x2)2+...+x2nn+1|1x1|+|x1x2|+...+|xn|n+11x1+x1x2+...+xnn+1=1n+1

Советую вам впредь быть более внимательным и пытаться самому понять решение прежде чем выдвигать такие обвинения.

  1
6 года 1 месяца назад #

благодарю.