Математикадан республикалық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 9 сынып

Натурал $n\ge 2$ саны берілген. Теңдеудің барлық нақты $\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}, \ldots,{{x}_{n}} \right)$ шешімдерін табыңдар: $${{\left( 1-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+\ldots+{{\left( {{x}_{n-1}}-{{x}_{n}} \right)}^{2}}+{{x}_{n}}^{2}=\dfrac{1}{n+1}.$$

Комментарий/решение

По неравенству между средним квадратичным и арифметическим $ \sqrt{ \dfrac{(1-x_{1})^2+(x_{1}-x_{2})^2+...+x_{n}^2}{n+1}} \geq \dfrac{|1-x_{1}|+|x_{1}-x_{2}|+...+|x_{n}|}{n+1} \geq \dfrac{1-x_{1}+x_{1}-x_{2}+...+x_{n}}{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$ откуда возведя в квадрат получаем неравенство, равенство выполнятся когда $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

То есть получаем решение $(x_{1},x_{2},...,x_{n}) = (\dfrac{n}{n+1}, \dfrac{n-1}{n+1},....,\dfrac{1}{n+1})$

$Matov$, что-бы выполнялось неравенство о средних, числа $1-x_{1},x_{1}-x_{2},...,x_{n}$ должны быть положительными. Но они не всегда положительны. Да, ты нашёл один из ответов, но не факт что все.

В вышеуказанном решении всё верно, просто опущен довольно очевидный факт, что $|x| \geq x$ для любого вещественного $x$. В развернутой форме неравенства выглядели бы так:

$$\sqrt{ \dfrac{(1-x_{1})^2+(x_{1}-x_{2})^2+...+x_{n}^2}{n+1}} \geq \dfrac{|1-x_{1}|+|x_{1}-x_{2}|+...+|x_{n}|}{n+1} \geq \dfrac{1-x_{1}+x_{1}-x_{2}+...+x_{n}}{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$$

Советую вам впредь быть более внимательным и пытаться самому понять решение прежде чем выдвигать такие обвинения.

благодарю.