Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

Задача №1. Для положительных действительных чисел

$a, b, c$ докажите неравенство

$\dfrac{{a^2 - bc}}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{b^2 - ac}}{{2b^2 + ac}} + \dfrac{{c^2 - ab}}{{2c^2 + ab}} \leq 0.$
комментарий/решение(11)

Задача №2. Вневписанная окружность с центром

$I_a$ касается стороны

$BC$ и продолжений сторон

$AC$ и

$AB$ треугольника

$ABC$ . Обозначим через

$B_1$ середину дуги

$AC$ описанной окружности треугольника

$ABC$ , содержащей вершину

$B$ . Докажите, что точки

$I_a$ и

$A$ равноудалены от точки

$B_1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. На олимпиаде по математике, которая проводится в течение двух дней, участвовало 15 девятиклассников. В каждый из дней каждый участник получил целое неотрицательное число баллов, не превосходящее 20. Никакие два участника ни в первый, ни во второй день не получили одинаковое число баллов. Во второй день задачи были сложнее, чем в первый день, и поэтому каждый участник во второй день получил меньше баллов, чем в первый день. Какое наибольшее число девятиклассников могло в сумме за два дня получить одинаковое число баллов?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Дан вписанный четырехугольник

$ABCD$ . Пусть продолжение сторон

$AB$ и

$CD$ за точки

$B$ и

$C$ , соответственно, пересекаются в точке

$M$ . Обозначим основания перпендикуляров из точки

$M$ на диагонали

$AC$ и

$BD$ соответственно через

$P$ и

$Q$ . Докажите, что

$KP=KQ$ где,

$K$ — середина стороны

$AD$ .
комментарий/решение(2)

Задача №5. Дано натуральное число

$n\geq 2$ . Найдите все действительные решения

$\left( {x_1 ,x_2 ,x_3 , \ldots,x_n } \right)$ уравнения

$\left( {1 - x_1 } \right)^2 + \left( {x_1 - x_2 } \right)^2 + \ldots + \left( {x_{n - 1} - x_n } \right)^2 + x_n ^2 = \frac{1} {{n + 1}}.$
комментарий/решение(4)

Задача №6. Какое максимальное число прямых на плоскости можно выбрать так, чтобы нашлось 8 точек таких, что на каждой из выбранных прямых было не менее трёх из этих точек?
комментарий/решение(4)