Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

Задача №1.  Для положительных действительных чисел $a, b, c$ докажите неравенство $\dfrac{{a^2 - bc}}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{{b^2 - ac}}{{2b^2 + ac}} + \dfrac{{c^2 - ab}}{{2c^2 + ab}} \leq 0.$
комментарий/решение(3)

---

Задача №2. Вневписанная окружность с центром $I_a$ касается стороны $BC$ и продолжений сторон $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$. Обозначим через $B_1$ середину дуги $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$, содержащей вершину $B$. Докажите, что точки $I_a$ и $A$ равноудалены от точки $B_1$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. На олимпиаде по математике, которая проводится в течение двух дней, участвовало 15 девятиклассников. В каждый из дней каждый участник получил целое неотрицательное число баллов, не превосходящее 20. Никакие два участника ни в первый, ни во второй день не получили одинаковое число баллов. Во второй день задачи были сложнее, чем в первый день, и поэтому каждый участник во второй день получил меньше баллов, чем в первый день. Какое наибольшее число девятиклассников могло в сумме за два дня получить одинаковое число баллов?
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть продолжение сторон $AB$ и $CD$ за точки $B$ и $C$, соответственно, пересекаются в точке $M$. Обозначим основания перпендикуляров из точки $M$ на диагонали $AC$ и $BD$ соответственно через $P$ и $Q$. Докажите, что $KP=KQ$ где, $K$ — середина стороны $AD$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №5. Дано натуральное число $n\geq 2$. Найдите все действительные решения $\left( {x_1 ,x_2 ,x_3 , \ldots,x_n } \right)$ уравнения $$ \left( {1 - x_1 } \right)^2 + \left( {x_1 - x_2 } \right)^2 + \ldots + \left( {x_{n - 1} - x_n } \right)^2 + x_n ^2 = \frac{1} {{n + 1}}. $$
комментарий/решение(4)

---

Задача №6.  Какое максимальное число прямых на плоскости можно выбрать так, чтобы нашлось 8 точек таких, что на каждой из выбранных прямых было не менее трёх из этих точек?
комментарий/решение(4)

---