Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

Вневписанная окружность с центром $I_a$ касается стороны $BC$ и продолжений сторон $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$. Обозначим через $B_1$ середину дуги $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$, содержащей вершину $B$. Докажите, что точки $I_a$ и $A$ равноудалены от точки $B_1$.

Комментарий/решение

Пусть $BI_{a}$ пересекает описанную окружность в точке $L$ так как $\angle I_{a}BC = \angle LBC = 90^{\circ} - \dfrac{\angle B}{2}$ тогда $\angle OLC = \dfrac{\angle B}{2}$ то есть $L=B_{1}$ откуда $\angle AB_{1}I_{a} = \angle A + \angle B$ тогда как $\angle ACI_{a} = 90 + \dfrac{C}{2} = 180- \dfrac{A+B}{2}$ значит точки $I_{a}, C,A$ лежат на одной окружности с центром в точке $B_{1}$.

Пусть $AI_a$ пересекает описанную окружность в точке $D$. По лемме трезубца $\angle DI_aC=\angle DCI_a=\alpha \Longrightarrow \angle ADC=2\alpha=\angle AB_1C\Longrightarrow \angle B_1AC=\angle B_1CA=90-\alpha\Longrightarrow \angle B_1DC=90+\alpha \Longrightarrow DB_1\bot I_aC;$ $DC=DI_a\Longrightarrow$ треугольник $B_1CI_a$ равнобедренный $\Longrightarrow B_1I_a=B_1C=B_1A.$

Пусть $ T - I_aB \cap (ABC)$ .

Для удобство $\angle BAC = 2\alpha$ и $\angle BCA = 2\beta$ $\rightarrowtail$ $\angle TBA = \alpha + \beta$ $= \angle TCA$ $\rightarrowtail$ $\angle BCT = \beta - \alpha = \angle TAB $ $\rightarrowtail$ $\angle BAC = \alpha + \beta$ $\leftrightharpoons$ $T = B_1$ , так как у нас $\angle B_1AO = \beta = \angle BOA$ $\blacksquare$