Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

Вневписанная окружность с центром $I_a$ касается стороны $BC$ и продолжений сторон $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$. Обозначим через $B_1$ середину дуги $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$, содержащей вершину $B$. Докажите, что точки $I_a$ и $A$ равноудалены от точки $B_1$.

Комментарий/решение

Пусть $BI_{a}$ пересекает описанную окружность в точке $L$ так как $\angle I_{a}BC = \angle LBC = 90^{\circ} - \dfrac{\angle B}{2}$ тогда $\angle OLC = \dfrac{\angle B}{2}$ то есть $L=B_{1}$ откуда $\angle AB_{1}I_{a} = \angle A + \angle B$ тогда как $\angle ACI_{a} = 90 + \dfrac{C}{2} = 180- \dfrac{A+B}{2}$ значит точки $I_{a}, C,A$ лежат на одной окружности с центром в точке $B_{1}$.