Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

Какое максимальное число прямых на плоскости можно выбрать так, чтобы нашлось 8 точек таких, что на каждой из выбранных прямых было не менее трёх из этих точек?

Комментарий/решение

Один из способов подойти к этой проблеме - рассмотреть количество способов выбора трех точек из заданного набора из восьми точек. Это можно сделать, используя комбинаторный аргумент. Существует в общей сложности 8 способов выбора 3 (или 8C3) для выбора трех точек из заданного набора из восьми точек. Это равно 56.

Однако мы должны принять во внимание, что некоторые строки могут быть подсчитаны несколько раз. Мы можем видеть, что каждая линия определяется тремя точками, но порядок, в котором выбираются точки, не имеет значения. Например, линия, определенная точками A, B и C, совпадает с линией, определенной точками B, C и A. Следовательно, каждая линия подсчитывается 3 раза в приведенном выше расчете. Чтобы исправить это перерасчет, мы делим результат на 3, чтобы получить 18 строк.

Таким образом, максимальное количество линий, которые можно выбрать так, чтобы было 8 точек, так что на каждой из выбранных линий есть по крайней мере три из этих точек, равно 18.

Если расписать все возможные прямые составленные из трех точек то получим 18 перестановок:

Line 1: A, B, C

Line 2: A, D, E

Line 3: A, F, G

Line 4: B, D, F

Line 5: B, E, G

Line 6: C, D, H

Line 7: C, E, F

Line 8: D, G, H

Line 9: A, B, D

Line 10: A, C, F

Line 11: A, E, G

Line 12: B, C, E

Line 13: B, D, G

Line 14: C, D, F

Line 15: A, B, E

Line 16: A, C, D

Line 17: B, C, H

Line 18: C, E, H

Чтобы не оказалось так что они все лежат на одной прямой уберем все такие линии которые содержат в себе по две одинаковой точки и получим 6. Оценка на 6 есть а пример следует из оценки.

где пример брат?