Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

На олимпиаде по математике, которая проводится в течение двух дней, участвовало 15 девятиклассников. В каждый из дней каждый участник получил целое неотрицательное число баллов, не превосходящее 20. Никакие два участника ни в первый, ни во второй день не получили одинаковое число баллов. Во второй день задачи были сложнее, чем в первый день, и поэтому каждый участник во второй день получил меньше баллов, чем в первый день. Какое наибольшее число девятиклассников могло в сумме за два дня получить одинаковое число баллов?

Комментарий/решение

Из условию следует что потенциально $0$ баллов участник мог получить только во второй день. Отметим что если количество учеников набравшее в сумме за $2$ дня одинаковое количество баллов $\geq 28$ то количество учеников может быть максимум равно $6$ и "отсчет" будет начинаться с учеником набравший $15$ до $20$ а за второй день от $13$ до $8$ баллов соответственно так как во второй день они набирают меньшее количество баллов, аналогичными рассуждениями для учеников набравшие одинаковое количество баллов в сумме $\leq 12$ равно $6$ (не учитывая при этом распределение для других учеников). Рассмотрим случай когда количество учеников с одинаковым набранным баллов лежит на отрезке $(13,27)$.Так как количество набранных баллов различное в каждом из дней, распределить в ряд баллы первого дня по убыванию. Для того чтобы охватить наибольшее возможные одинаковые значения без ограничения общности рассмотрим случай когда баллы от $[0,5]$ не входят в ряд, то есть случай от $[6,20]$ тогда минимальное возможное максимальное количество учеников набравшие одинаковое в сумме количество баллов равно $7$ выполнятся при сумме за два дня $13=7+6=8+5=9 +4=10+3=11+2=12+1=13+0$ и максимальное $10$ при сумме $21=11+10=12+9=13+8=14+7=15+6=16+5=17+4=18+3=19+2=20+1$ (не учитывая распределения для других учеников) докажем что больше $6$ учеников быть не могло. Так как баллы распределены по убыванию, и максимальное возможное как видно описано выше возможно когда во второй день количество баллов учеников обратно , то есть распределены по возрастанию относительно первого дня, тогда пусть

$s$ сумма баллов ученика за два дня, $n$ максимальное количество учеников с одинаковыми баллами при условий $13 \leq s \leq 27$ и $7 \leq n \leq 10$ так же очевидно что при $(n=7, s=[13,14])$, $(n=8,s=[15,16])$, $(n=9, s=[17,18])$, $(n=10, s=[19,20,21])$

Тогда очевидно что для учеников слева от зафиксированного первого ученика (баллы расположены по убыванию слева направо) от которого идет "отсчет" будет существовать распределение удовлетворяющее условию, но тогда справа будет остается количество равное $15-n-(20-s)=s-n-5$ тогда для них нужно доказать что $n-(s-n-5) \leq 6$ так как за второй день они набрали меньшее количество, откуда $2n-s \leq 1$ проверяя для выше описанных значений получаем требуемое.

Ответ $6$.