Математикадан республикалық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. Әр түрлі цифрлардан тұратын және сол

$N$ санынан жеті цифрды сызғаннан пайда болған сандардың ішінде жай сандардың саны бірден аспайтындай тоғызтаңбалы

$N$ санын табыңыз.(Бір мысалын тапса жеткілікті.) Табылған сан сәйкес келетінін дәлелдеңіздер.(Цифр сызғаннан шыққан сан 0-ге басталса 0-ді де сызып тастау керек)
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Шексіз тор жазықтығында әрбір торға әрбірі кем дегенде бір реттен кездесетін 1, 2, 3, 4 сандары қойылған. Егер торға кабырға бойынша көршілес орналасқан торлардағы әр түрлі сандардың саны сол тордағы жазылған санмен бірдей болса, торды дұрыс деп айтамыз. Жазықтықтағы барлық торлар дұрыс болып шығуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_6^2 =6$ және

$x_1 + x_2 + \dots + x_6 =0$ екені белгілі. Дәлелдеңіздер:

$x_1x_2 \dots x_6 \leq \dfrac{1}{2}$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышының

$A$ және

$C$ бұрыштарының биссектрисалары үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберді сәйкесінше

$A_0$ және

$C_0$ нүктелерінде қияды.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрінен өтетін және

$AC$ қабырғасына параллель түзу

$A_0C_0$ түзуімен

$P$ нүктесінде қиылысады.

$PB$ түзуі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Тақтағы

$a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_{100}$ көбейтіндісі жазылған, мұндағы

$a_1$ ,

$\dots$ ,

$a_{100}$ —натурал сандар. Көбейтіндідегі әрбір көбейту таңбасын қосу таңбасына ауыстырғандағы 99 өрнекті қарастырайық. Осы өрнектердің дәл 32 өрнегінің мәні жұп.

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ ,

$a_{100}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша жұп сан болуы мүмкін?
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$AD$ биссектрисасы және

$BE$ биіктігі жүргізілген.

$CED$ бұрышы

$45^\circ$ – тан үлкен екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №7. Жұмысшы

$N \geq 5$ тиынды даярлағанда қателік жасап, екі тиынды басқа материалдан жасады (барлық тиындар бірдей көрінеді). Басқарушы сол екі тиынның салмақтары бірдей екенін, бірақ басқа тиындардан салмағы өзгеше екенін біледі. Жұмысшы қай тиын екенін және қалғандарынан жеңіл екенін біледі. Жұмысшы гирсіз таразыда екі рет өлшеу арқылы басқарушыға жалған тиындар қалғандарынан жеңіл екенін және қайсы тиын жалған екенін көрсетіп беруі тиіс. Қолынан келе ме?
комментарий/решение

Есеп №8. 81-ге бөлінбейтін

$N$ санын 3-ке бөлінетін үш санның квадраттарының қосындысы ретінде жазуға болады. Ол санды 3-ке бөлінбейтін үш санның квадраттарының қосындысы ретінде де жазуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)