Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

В каждую клетку бесконечной клетчатой плоскости записано одно из чисел 1, 2, 3, 4 так, что каждое число встречается хотя бы один раз. Назовем клетку $\textit{правильной}$, если количество различных чисел, записанных в четыре соседние (по стороне) с ней клетки, равно числу, записанному в эту клетку. Могут ли все клетки плоскости оказаться правильными?

Комментарий/решение

Ответ: нет

Пусть все клетки правильные. По сколку плоскость имеет хотя бы одну клетку с числом 4 то обезятельно один из его соседних клеток имеет число 1, тогда все его соседние клетки одинаковые, то есть 4.

То имеем фигуру 3 x 3 таком порядке

2 4 3

4 1 4

3 4 2

(если один из угловых клеток равно 4 то угловая клетка не являеться правильным)

то следует такая фигура

0 0 0 Y 0 0 0

0 0 X 4 X 0 0

0 X 2 4 3 X 0

Y 4 4 1 4 4 Y

0 X 3 4 2 X 0

0 0 X 4 X 0 0

0 0 0 Y 0 0 0

Если клетка X окажется 1 то оно противоречит условию, то клетка Y равно 1

0 0 0 1 4 0 0

0 0 Х 4 B C 0

0 Х 2 4 3 А 4

1 4 4 1 4 4 1

0 Х 3 4 2 Х 0

0 0 Х 4 Х 0 0

0 0 0 1 0 0 0

клетки А и B разные и ровно один их них 2, но если один из них равно 2 то и второе равно 2 что противоречит условию