Математикадан республикалық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып

Шексіз тор жазықтығында әрбір торға әрбірі кем дегенде бір реттен кездесетін 1, 2, 3, 4 сандары қойылған. Егер торға кабырға бойынша көршілес орналасқан торлардағы әр түрлі сандардың саны сол тордағы жазылған санмен бірдей болса, торды дұрыс деп айтамыз. Жазықтықтағы барлық торлар дұрыс болып шығуы мүмкін бе?

Комментарий/решение

Ответ: нет

Пусть все клетки правильные. По сколку плоскость имеет хотя бы одну клетку с числом 4 то обезятельно один из его соседних клеток имеет число 1, тогда все его соседние клетки одинаковые, то есть 4.

То имеем фигуру 3 x 3 таком порядке

2 4 3

4 1 4

3 4 2

(если один из угловых клеток равно 4 то угловая клетка не являеться правильным)

то следует такая фигура

0 0 0 Y 0 0 0

0 0 X 4 X 0 0

0 X 2 4 3 X 0

Y 4 4 1 4 4 Y

0 X 3 4 2 X 0

0 0 X 4 X 0 0

0 0 0 Y 0 0 0

Если клетка X окажется 1 то оно противоречит условию, то клетка Y равно 1

0 0 0 1 4 0 0

0 0 Х 4 B C 0

0 Х 2 4 3 А 4

1 4 4 1 4 4 1

0 Х 3 4 2 Х 0

0 0 Х 4 Х 0 0

0 0 0 1 0 0 0

клетки А и B разные и ровно один их них 2, но если один из них равно 2 то и второе равно 2 что противоречит условию