Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

На доске записано произведение $a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_{100}$, где $a_1$, $\dots$, $a_{100}$ — натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений четные. Какое наибольшее количество четных чисел среди $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{100}$ могло быть?

Комментарий/решение

Из условия выводим что нам пришлось поочередно заменять каждую из знаков умножения на знак сложения.Так как всего мы имеем 99 знаков. Очевидно что выражение не может состоять только из нечетных чисел. То есть, в ней есть хотя бы два четных числа. Заметим что количество чисел между двумя четными не превосходит 31. Иначе, могло получиться больше 32 четных выражений. Следовательно количество четных множителей не превосходит 33.

Пример: $a_1$, $a_2$, $a_3$..... a33 - четные числа, а остальные - нечетные. При таком конструкции условие задачи удовлетворяется.

$OTBET$:33.