Математикадан республикалық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып

Тақтағы $a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_{100}$ көбейтіндісі жазылған, мұндағы $a_1$, $\dots$, $a_{100}$ —натурал сандар. Көбейтіндідегі әрбір көбейту таңбасын қосу таңбасына ауыстырғандағы 99 өрнекті қарастырайық. Осы өрнектердің дәл 32 өрнегінің мәні жұп. $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{100}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша жұп сан болуы мүмкін?

Комментарий/решение

Из условия выводим что нам пришлось поочередно заменять каждую из знаков умножения на знак сложения.Так как всего мы имеем 99 знаков. Очевидно что выражение не может состоять только из нечетных чисел. То есть, в ней есть хотя бы два четных числа. Заметим что количество чисел между двумя четными не превосходит 31. Иначе, могло получиться больше 32 четных выражений. Следовательно количество четных множителей не превосходит 33.

Пример: $a_1$, $a_2$, $a_3$..... a33 - четные числа, а остальные - нечетные. При таком конструкции условие задачи удовлетворяется.

$OTBET$:33.