Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 9 класс

Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают описанную окружность этого треугольника в точках $A_0$ и $C_0$ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника $ABC$ параллельно стороне $AC$, пересекается с прямой $A_0C_0$ в точке $P$. Докажите, что прямая $PB$ касается описанной окружности треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

$I$ - инцентр, $O$ - центр описанной окружности , по лемме о трезубце выходит $A_{0}I = A_{0}B$ и так как $A_{0}C_{0}$ биссектриса $\angle BA_{0}A$ (из вписанности треугольника) то треугольники $BA_{0}P , IA_{0}P$ равны по двум сторонам и углу между ними $PB=PI$ и так как $PI || AC$ то $\angle PBA_{0} = \angle PIA_{0} = 180^{\circ} - \dfrac{\angle BAC}{2}$ так же $\angle OBC = \angle BAC - 90^{\circ}$ и $\angle A_{0}BC = \dfrac{\angle BAC}{2}$ откуда $\angle PBO = PBA_{0}+\angle OBC -\angle A_{0}BC = 90^{\circ}$ то есть $PB$ - касательная