Математикадан республикалық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышының $A$ және $C$ бұрыштарының биссектрисалары үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберді сәйкесінше $A_0$ және $C_0$ нүктелерінде қияды. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрінен өтетін және $AC$ қабырғасына параллель түзу $A_0C_0$ түзуімен $P$ нүктесінде қиылысады. $PB$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$I$ - инцентр, $O$ - центр описанной окружности , по лемме о трезубце выходит $A_{0}I = A_{0}B$ и так как $A_{0}C_{0}$ биссектриса $\angle BA_{0}A$ (из вписанности треугольника) то треугольники $BA_{0}P , IA_{0}P$ равны по двум сторонам и углу между ними $PB=PI$ и так как $PI || AC$ то $ \angle PBA_{0} = \angle PIA_{0} = 180^{\circ} - \dfrac{\angle BAC}{2}$ так же $\angle OBC = \angle BAC - 90^{\circ} $ и $\angle A_{0}BC = \dfrac{\angle BAC}{2}$ откуда $\angle PBO = PBA_{0}+\angle OBC -\angle A_{0}BC = 90^{\circ}$ то есть $PB$ - касательная