Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Тізбекте ${{a}_{1}}=1$, ${{a}_{2}}=2$ және $n=2,3,\ldots $ үшін ${{a}_{n+1}}=\dfrac{{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}+1}{{{a}_{n-1}}}$. Олай болса, әрбір $n\ge 3$ үшін ${{a}_{n}} > \sqrt{2n}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №2. $1+{{m}^{{{3}^{n}}}}+{{m}^{2\cdot {{3}^{n}}}}$ саны $n$-ге белінетіндей барлық $m,n\ge 2$ бүтін сандарын тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Екі сәуледен және олардың бас нүктелерін қосатын кесіндіден тұратын жызықтықтағы сынық сызықты зигзаг деп атаймыз. Жазыктықты $n$ зигзагтың көмегімен жазықтықы ең көп дегенде қанша бөлікке бөлуге болады?
комментарий/решение

Есеп №4. Бізге белгілі бір $n$ натурал саны берілсін. Әрбір $1\le k\le l\le n$ үшін $\left| \sum\limits_{i=2k-1}^{2l}{{{\varepsilon }_{i}}} \right|\le 2$ болатындай барлық $\left( {{\varepsilon }_{1}},{{\varepsilon }_{2}},\ldots ,{{\varepsilon }_{2n}} \right)$ тізбектер санын тап, мұнда әрбір $1\le i\le 2n$ үшін ${{\varepsilon }_{i}}=\pm 1$.
комментарий/решение

Есеп №5. $ABC$ үшбұрышының ең қысқа қабырғасы $BC$. Ал $BA$ және $CA$ сәулелерінде $BC$-ға тең $BD$ және $CE$ кесінділері салынған. $ADE$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы $\sqrt{{{R}^{2}}-2Rr}$-ға тең екенін дәлелде (мұндағы $R$ және $r$ сәйкесінше $ABC$ үшбұрышына сырттай және іштей сызылган шеңберлердің радиустары).
комментарий/решение

Есеп №6. ${{p}_{1}},{{p}_{2}},\ldots ,{{p}_{n}}$ бір-біріне тең емес және 3-тен үлкен жай сандар болсын. ${{2}^{k}}+1$ санының, бұл жерде $k={{p}_{1}}{{p}_{2}}\ldots {{p}_{n}}$, кемінде ${{4}^{n}}$ әртүрлі бөлгіштері бар екенін дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №7. Коэффициенттері нақты сан болатын $P\left( x \right)$ көпмүшесі үшін барлық $x$ үшін $P\left( x \right) > 0$. ${{\left( 1+x \right)}^{n}}P\left( x \right)$ көпмүшесінің коэффициенттері 0-ден кіші емес болатындай натурал $n$ санының табылатынын дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №8. $\dfrac{1+bc}{b-c}$, $\dfrac{1+ac}{c-a}$ және $\dfrac{1+ab}{b-a}$ сандары бүтін болатындай етіп $a,b,c$ нақты сандары алынған. Онда олардың кез-келген жұбы өзара жай сандар екенін дәлелде.
комментарий/решение(4)