Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Тізбекте

${{a}_{1}}=1$ ,

${{a}_{2}}=2$ және

$n=2,3,\ldots$ үшін

${{a}_{n+1}}=\dfrac{{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}+1}{{{a}_{n-1}}}$ . Олай болса, әрбір

$n\ge 3$ үшін

${{a}_{n}} > \sqrt{2n}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$1+{{m}^{{{3}^{n}}}}+{{m}^{2\cdot {{3}^{n}}}}$ саны

$n$ -ге белінетіндей барлық

$m,n\ge 2$ бүтін сандарын тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Екі сәуледен және олардың бас нүктелерін қосатын кесіндіден тұратын жызықтықтағы сынық сызықты зигзаг деп атаймыз. Жазыктықты

$n$ зигзагтың көмегімен жазықтықы ең көп дегенде қанша бөлікке бөлуге болады?
комментарий/решение

Есеп №4. Бізге белгілі бір

$n$ натурал саны берілсін. Әрбір

$1\le k\le l\le n$ үшін

$\left| \sum\limits_{i=2k-1}^{2l}{{{\varepsilon }_{i}}} \right|\le 2$ болатындай барлық

$\left( {{\varepsilon }_{1}},{{\varepsilon }_{2}},\ldots ,{{\varepsilon }_{2n}} \right)$ тізбектер санын тап, мұнда әрбір

$1\le i\le 2n$ үшін

${{\varepsilon }_{i}}=\pm 1$ .
комментарий/решение

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышының ең қысқа қабырғасы

$BC$ . Ал

$BA$ және

$CA$ сәулелерінде

$BC$ -ға тең

$BD$ және

$CE$ кесінділері салынған.

$ADE$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы

$\sqrt{{{R}^{2}}-2Rr}$ -ға тең екенін дәлелде (мұндағы

$R$ және

$r$ сәйкесінше

$ABC$ үшбұрышына сырттай және іштей сызылган шеңберлердің радиустары).
комментарий/решение

Есеп №6.

${{p}_{1}},{{p}_{2}},\ldots ,{{p}_{n}}$ бір-біріне тең емес және 3-тен үлкен жай сандар болсын.

${{2}^{k}}+1$ санының, бұл жерде

$k={{p}_{1}}{{p}_{2}}\ldots {{p}_{n}}$ , кемінде

${{4}^{n}}$ әртүрлі бөлгіштері бар екенін дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №7. Коэффициенттері нақты сан болатын

$P\left( x \right)$ көпмүшесі үшін барлық

$x$ үшін

$P\left( x \right) > 0$ .

${{\left( 1+x \right)}^{n}}P\left( x \right)$ көпмүшесінің коэффициенттері 0-ден кіші емес болатындай натурал

$n$ санының табылатынын дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №8.

$\dfrac{1+bc}{b-c}$ ,

$\dfrac{1+ac}{c-a}$ және

$\dfrac{1+ab}{b-a}$ сандары бүтін болатындай етіп

$a,b,c$ нақты сандары алынған. Онда олардың кез-келген жұбы өзара жай сандар екенін дәлелде.
комментарий/решение(4)