Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс

В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ наименьшая. На лучах $BA$ и $CA$ отложены отрезки $BD$ и $CE$ равные $BC$. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника $ADE$ равен $\sqrt {R^2 - 2Rr} $ (где $R$ и $r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$).

Комментарий/решение

1) Пусть $I$ - инцентр $ABC$ и $O_1, O_2$ центры описанных окружностей $ADE, \ ABC$, из условия $BD=CE=BC$ получается $IE=IB$ и $ID=IC$, тогда $\angle CEI = \angle CBI = \angle IBD$ иными словами $AEIB$ вписанный, аналогично с $ADIC$ пусть их центры $O_3, O_4$ соответственно.

$\omega$ описанная окружность

2) Проведем $GI || AC$ где $G \in \omega_{ABI}$ так же $F \in \omega_{AIC} \cap GI $, тогда $AGIB$ равноб-ая трапеция, покажем что $O_3, O_4$ лежат на $\omega_{ABC}$ :

Счетом углов : $ \angle AO_3B=360^{\circ}-2 \angle AIB = 180^{\circ} - \angle ACB$ то есть $ACBO_3$ вписанный, точно так же $ABCO_4$

3) Очевидно что $O_3O_4 \perp AI$ так как $AGIB$ равноб-ая трапеция, так как $AE || GI$, тогда $O_3O_1 \perp GI$ и по соображениям серединного перпендикуляра $O_1O_4 \perp AD$, в то же время $O_3O_2 \perp AB$ тогда $O_2O_3 || O_1O_4$ причем так как $GI = AB$ то $\angle O_1O_3O_4 = \angle O_2O_3O_4$ но тогда $\angle O_1O_4O_3 = \angle O_2O_3O_4$ учитывая что $O_2O_4 \perp AC$ откуда $O_1O_2O_3O_4$ ромб, тогда $O_1O_2 || AI$ или $AO_1O_2I$ равноб-ая трапеция

4) Значит $AO_1 = IO_2$ но по теореме Эйлера, расстояние между вписанной и описанной окружностью $IO_2 = \sqrt{R^2-2Rr}$ откуда $AO_1=\sqrt{R^2-2Rr}$