Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс

Задача №1. Пусть

$a_1 = 1$ ;

$a_2 = 2$ и

$a_{n + 1} = \frac{{a_n a_{n - 1} + 1}}{{a_{n - 1} }}$ для

$n=2, 3,\dots$ . Докажите, что

$a_n > \sqrt {2n}$ для

$n\geq3$ .
комментарий/решение

Задача №2. Определите все целые числа

$m, n \geq 2$ такие, что

$1+m^{3^n}+m^{2\cdot 3^n}$ делится на

$n$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3.

$\it{Зигзагом}$ назовем ломаную на плоскости, образованную из двух параллельных лучей и отрезка, соединяющего начала этих лучей. На какое максимальное число частей может быть разбита плоскость с помощью

$n$ зигзагов?
комментарий/решение

Задача №4. Пусть

$n$ — фиксированное натуральное число. Найдите количество всех последовательностей

$(a_1 ,a_2 , \ldots ,a_{2n} )$ , где

$a_i = \pm 1$ для любого

$1 \leq i \leq 2n$ , удовлетворяющих условию: для любых

$1 \leq k \leq l \leq n$ верно

$\left|{\sum\limits_{i = 2k - 1}^{2l} {a_i } }\right|\leq 2.$
комментарий/решение

Задача №5. В треугольнике

$ABC$ сторона

$BC$ наименьшая. На лучах

$BA$ и

$CA$ отложены отрезки

$BD$ и

$CE$ равные

$BC$ . Докажите, что радиус описанной окружности треугольника

$ADE$ равен

$\sqrt {R^2 - 2Rr}$ (где

$R$ и

$r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника

$ABC$ ).
комментарий/решение

Задача №6. Пусть

${{p}_{1}}$ ,

${{p}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{p}_{n}}$ — различные простые числа, большие 3. Докажите, что число

${{2}^{{{p}_{1}}{{p}_{2}}\ldots {{p}_{n}}}}+1$ имеет не менее

${{4}^{n}}$ делителей.
комментарий/решение

Задача №7. Пусть

$P(x)$ многочлен с действительными коэффициентами такой, что

$P(x) > 0$ для всех

$x\geq 0$ . Докажите, что существует положительное целое число

$n$ такое, что

$(1 + x)^n P(x)$ многочлен с неотрицательными коэффициентами.
комментарий/решение

Задача №8. Вещественные числа

$a, b, c$ таковы, что числа

$\dfrac{{1 + bc}}{{b - c}}$ ,

$\dfrac{{1 + ac}}{{c - a}}$ и

$\dfrac{{1 + ab}} {{b - a}}$ целые. Докажите, что тогда они попарно взаимно просты.
комментарий/решение(4)