Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Пусть x,y,z полученные целые числа. Заметив, что определяющие их формулы являются котангенсом разности, легко вывести тождество xy+yz+xz=1. Поэтому если d|x,y, то d|1, что требовалось.
Пусть x=1+bcb−c,y=1+cac−a,z=1+aba−b(да, в изначальном решении я немного ошибся, написав, что это просто все целые числа). Вообще, достаточно просто преобразовать xy+yz+xz, в итоге получится 1(это самый сложный шаг, надеюсь дальше очевидно). Однако додуматься сразу вычислять это выражение - долго и практически невозможно. Я додумался до него следующим образом: заменим a=ctgα,b=ctgβ,c=ctgγ. Тогда по формуле котангенса разности z=1+ctgαctgβctgα−ctgβ=ctg(α−β), аналогично x=ctg(β−γ),y=ctg(γ−α). Поэтому по формуле котангенса суммы ctg(α−β)=ctg((α−γ)+(γ−β))=1−ctg(α−γ)ctg(γ−β)ctg(α−γ)+ctg(γ−β). Обратная замена даёт x=1−yzy+z⇔xy+yz+zx=1. Предположим, что найдётся d>1,d|x,y. Тогда d|xy,yz,zx, поэтому d|xy+yz+zx=1 - противоречие, это значит, что x,y - взаимнопросты. Аналогично, пары y,z и z,x взаимнопросты между собой. - что требовалось доказать
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.