Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс


Вещественные числа a,b,c таковы, что числа 1+bcbc, 1+acca и 1+abba целые. Докажите, что тогда они попарно взаимно просты.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
2 года 5 месяца назад #

Пусть x,y,z полученные целые числа. Заметив, что определяющие их формулы являются котангенсом разности, легко вывести тождество xy+yz+xz=1. Поэтому если d|x,y, то d|1, что требовалось.

  0
2 года 5 месяца назад #

как легко вышло, а я эту задачу не мог решить 4 года.

  0
2 года 5 месяца назад #

толықтырып түсіндіріп жіберсеңбе?

  7
2 года 5 месяца назад #

Пусть x=1+bcbc,y=1+caca,z=1+abab(да, в изначальном решении я немного ошибся, написав, что это просто все целые числа). Вообще, достаточно просто преобразовать xy+yz+xz, в итоге получится 1(это самый сложный шаг, надеюсь дальше очевидно). Однако додуматься сразу вычислять это выражение - долго и практически невозможно. Я додумался до него следующим образом: заменим a=ctgα,b=ctgβ,c=ctgγ. Тогда по формуле котангенса разности z=1+ctgαctgβctgαctgβ=ctg(αβ), аналогично x=ctg(βγ),y=ctg(γα). Поэтому по формуле котангенса суммы ctg(αβ)=ctg((αγ)+(γβ))=1ctg(αγ)ctg(γβ)ctg(αγ)+ctg(γβ). Обратная замена даёт x=1yzy+zxy+yz+zx=1. Предположим, что найдётся d>1,d|x,y. Тогда d|xy,yz,zx, поэтому d|xy+yz+zx=1 - противоречие, это значит, что x,y - взаимнопросты. Аналогично, пары y,z и z,x взаимнопросты между собой. - что требовалось доказать