Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс

Пусть $a_1 = 1$; $a_2 = 2$ и $a_{n + 1} = \frac{{a_n a_{n - 1} + 1}}{{a_{n - 1} }}$ для $n=2, 3,\dots$. Докажите, что $a_n > \sqrt {2n}$ для $n\geq3$.

Комментарий/решение

База: $n=3.$ $a_4=\dfrac{a_3a_2+1}{a_2}=\dfrac{7}{2}>\sqrt{6}$

Переход: $n\Longrightarrow n+1.$ $({ \color{red} ! })a_{n}+\dfrac{1}{a_{n-1}}=a_{n+1}>\sqrt{2n+2}$$(a_{n+1}>a_n)$

$(a_n+\dfrac{1}{a_{n-1}})^2>(a_n+\dfrac{1}{a_{n}})^2>2n+2+\dfrac{1}{a_{n}}^2>2n+2$

кате шыгарган жолын тусындырш ал