Математикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1.

$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+ \ldots +\frac{1}{x_n^2}=\frac{n+1}{x_{n+1}^2}$ теңдеуінің натурал шешімі болатындай барлық натурал

$n$ санын табыңыздар.
комментарий/решение

Есеп №2.

$x,y,z$ оң нақты сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$\frac{{{x}^{3}}}{x+y}+\frac{{{y}^{3}}}{y+z}+\frac{{{z}^{3}}}{z+x}\ge \frac{xy+yz+zx}{2}.$
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Қағаздар ауданы 2003 болатын тең екі квадрат қиылып алынған. Әрбір квадрат ауданы 1-ге тең 2003 көпбұрышқа бөлшектенген. Сонан соң екі квадрат беттестіріледі. Осы қабаттасқан екі квадрат қағазды әрбір квадраттағы әрбір көпбұрыш тесілетіндей етіп инемен 2003 рет тесуге болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$BC$ қабырғасымен

$A'$ нүктесінде жанасады.

$AA'$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$P$ нүктесінде қияды.

$CP$ және

$BP$

$\omega$ -ны екінші рет сәйкесінше

$N$ және

$M$ нүктелерінде қияды.

$AA', BN$ және

$CM$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Кез келген

$p$ жай саны үшін

$C_{2p}^{p}-2$ саны

${{p}^{3}}$ -қа бөлінетінін дәлелдеңіздер. Мұндағы

$C_{2p}^{p}=\frac{\left( 2p \right)!}{{{\left( p! \right)}^{2}}}$ .
комментарий/решение

Есеп №6.

$B$ нүктесі

$S_1$ шеңбердің бойында жатыр және

$S_1$ -ге

$B$ нүктесінде жүргізілген жанама бойынан

$A$ нүктесі алынған.

$S_1$ -дің сыртынан

$S_1$ -ді екі нүктеде қиятын

$AC$ түзуі жүргізілген.

$S_2$ шеңбері

$AC$ түзуін

$C$ нүктеде жанайды, ал

$S_1$ шеңберін

$D$ нүктесінде жанайды (

$B$ мен

$D$ нүктелері

$AC$ -ның екі жағында жатыр).

$BCD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында жатқанын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Өлшемі

$n\times n$ болатын шаршы тақта (бұл жерде

$n$ — тақ сан) шахмат тақтасы секілді боялған және оның бұрышындағы шаршыларының түсі қара екені белгілі. Осы тактаның қара шаршыларын

$n$ -нің қандай мәндері үшін үш шаршыдан құралған бұрыштармен қабаттастырмай түгел жабуға болады? Осы шарт орындалатын әрбір

$n$ үшін бұрыштардың минимал саны қанша?
комментарий/решение

Есеп №8. Кез келген

$x,y\in {\mathbb{R}}$ үшін

${f(f(x)+y)}=2x+{f(f(y)-x)}$ теңдігін қанағаттандыратын барлық мүмкін

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар. Мұндағы

$\mathbb{R}$ — оң нақты сандар жиыны.
комментарий/решение(2)