қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+ \ldots +\frac{1}{x_n^2}=\frac{n+1}{x_{n+1}^2}$ теңдеуінің натурал шешімі болатындай барлық натурал $n$ санын табыңыздар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $x,y,z$ оң нақты сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $\frac{{{x}^{3}}}{x+y}+\frac{{{y}^{3}}}{y+z}+\frac{{{z}^{3}}}{z+x}\ge \frac{xy+yz+zx}{2}.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Қағаздар ауданы 2003 болатын тең екі квадрат қиылып алынған. Әрбір квадрат ауданы 1-ге тең 2003 көпбұрышқа бөлшектенген. Сонан соң екі квадрат беттестіріледі. Осы қабаттасқан екі квадрат қағазды әрбір квадраттағы әрбір көпбұрыш тесілетіндей етіп инемен 2003 рет тесуге болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $BC$ қабырғасымен $A'$ нүктесінде жанасады. $AA' $ түзуі $\omega$-ны екінші рет $P$ нүктесінде қияды. $CP$ және $BP$ $\omega$-ны екінші рет сәйкесінше $N$ және $M$ нүктелерінде қияды. $AA', BN$ және $CM$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Кез келген $p$ жай саны үшін $C_{2p}^{p}-2$ саны ${{p}^{3}}$-қа бөлінетінін дәлелдеңіздер. Мұндағы $C_{2p}^{p}=\frac{\left( 2p \right)!}{{{\left( p! \right)}^{2}}}$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $B$ нүктесі $S_1$ шеңбердің бойында жатыр және $S_1$-ге $B$ нүктесінде жүргізілген жанама бойынан $A$ нүктесі алынған. $S_1$-дің сыртынан $S_1$-ді екі нүктеде қиятын $AC$ түзуі жүргізілген. $S_2$ шеңбері $AC$ түзуін $C$ нүктеде жанайды, ал $S_1$ шеңберін $D$ нүктесінде жанайды ($B$ мен $D$ нүктелері $AC$-ның екі жағында жатыр). $BCD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында жатқанын дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Өлшемі $n\times n$ болатын шаршы тақта (бұл жерде $n$ — тақ сан) шахмат тақтасы секілді боялған және оның бұрышындағы шаршыларының түсі қара екені белгілі. Осы тактаның қара шаршыларын $n$-нің қандай мәндері үшін үш шаршыдан құралған бұрыштармен қабаттастырмай түгел жабуға болады? Осы шарт орындалатын әрбір $n$ үшін бұрыштардың минимал саны қанша?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Кез келген $x,y\in {\mathbb{R}}$ үшін ${f(f(x)+y)}=2x+{f(f(y)-x)}$ теңдігін қанағаттандыратын барлық мүмкін $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар. Мұндағы $\mathbb{R}$ — оң нақты сандар жиыны.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)