Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс

Найдите все натуральные числа $n$ для которых уравнение $$ \displaylines{\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+ \ldots +\frac{1}{x_n^2}=\frac{n+1}{x_{n+1}^2}} $$ имеет решение в натуральных числах.

Комментарий/решение

Отметим что уравнение однородное, а значит если решение и есть $(x_1;x_2;x_3...,x_n) = > (mx_1; mx_2; mx_3...,mx_n)$

Можно попробовать так:

1) при $n=1$ получается $\dfrac{1}{x_1^2} = \dfrac{2}{x_2^2} \ => x_2^2 = 2x_1^2 $ что невозможно в нат числах

2) при $n=2$ получается $\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2} = \dfrac{3}{x_3^2} \ => x_1^2x_3^2+x_1^2x_3^2=3x_1^2x_2^2$ сравнивая по $\mod \ 3$ можно получит бесконечный спуск, что невозможно для нат чисел

3) при $n=3$ то $(x_1; \ x_2 ; \ x_3; \ x_4) = (3; \ 3; \ 6 ; \ 4)$ подходит, а значит $(3m; \ 3m; \ 6m ; \ 4m)$ так же подходит

4) Для $n > 3$ покажем то $(4m;4m;4m;....4m;3m;3m; 6m; 4m)$ подходит, по индукции (база в пункте 3) $n->n+1$ тогда: $$\displaylines{\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+ \ldots +\frac{1}{x_n^2}=\frac{n+1}{x_{n+1}^2}}$$

$$\dfrac{n+1}{x^2_{n+1}} + \dfrac{1}{x^2_{n+1}} = \dfrac{n+2}{x^2_{n+2}}$$

$$\dfrac{n+2}{(4m)^2} = \dfrac{n+2}{x^2_{n+2}}$$

то есть $x_{n+2} = 4m$

Ответ: для всех $n \geq 3$