қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс
Задача №1. Найдите все натуральные числа $n$ для которых уравнение
$$
\displaylines{\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+ \ldots +\frac{1}{x_n^2}=\frac{n+1}{x_{n+1}^2}}
$$
имеет решение в натуральных числах.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Для положительных действительных чисел $x, y, z$ докажите неравенство: $$ \displaylines{\frac{x^3}{x+y}+\frac{y^3}{y+z}+\frac{z^3}{z+x}\geq \frac{xy+yz+zx}{2}.}$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Из листа бумаги вырезали два квадрата площади 2003. Каждый квадрат разделен на 2003 непересекающихся многоугольника площади 1. Затем два квадрата накладывают друг на друга. Докажите, что полученный двойной слой бумаги можно проколоть иголкой 2003 раз таким образом, что каждый многоугольник на каждом квадрате будет проколот по одному разу.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ касается стороны $BC$ в точке $A'$. Пусть $AA' $ пересекает $\omega$ в точке $P \neq A$. Пусть $CP$ и $BP$ пересекают $\omega$ соответственно в точках $N$ и $M$, отличных от $P$. Докажите, что $AA', BN$ и $CM$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Докажите, что число $C_{2p}^p - 2$ делится на $p^3$, для любого простого $p \geq 5$, где $C_{2p}^p=\frac{(2p)!}{{(p!)}^2}$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Пусть точка $B$ лежит на окружности $S_1$ и пусть точка $A$, отличная от точки $B$, лежит на касательной к окружности $S_1$, проходящей через точку $B$. Пусть точка $C$ выбрана вне окружности $S_1$, так, что отрезок $AC$ пересекает $S_1$ в двух различных точках. Пусть окружность $S_2$ касается прямой $AC$ в точке $C$ и окружности $S_1$ в точке $D$, на противоположной стороне от точки $B$ относительно прямой $AC$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $BCD$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Клетчатая доска размера $n\times n$, где $n$ является нечетным натуральным числом, покрашена в шахматном порядке так, что угловые клетки оказались черными. При каких значениях $n$ все черные клетки данной доски можно покрыть трехклеточными уголками без наложения? Для каждого значения $n$, при которых выполняется данное условие, чему равно минимальное число уголков?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Найдите все такие функции $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, что при любых действительных $x, y$ выполняется тождество
$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)