Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Рассмотрим двудольный граф где двудольными множествами являются 2003 многоугольника на каждом листе бумаги если соединить две вершины из обоих двудольных множеств тогда и только тогда когда их многоугольники имеют непустой пересечение при размещении друг над другом.Рассмотрим подмножество X одного из этих двудольных множеств.Это подмножество имеет площадь |X| так как все многоугольники имеют площадь 1.Соседнее множество Р(Х) имеет площадь |P(X)|.Однако обратите внимание, что область, ограниченная Х, является лишь подмножеством области
ограниченной Р(Х).Таким образом,|X| $\geq$
|P(X)| для любого подмножества Х,и по теореме Холла существует паросоэетание из одного набора многоугольников в другой.Мы используем это сопоставление, чтобы найти подходящие положения для иголок
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.