Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс

Пусть точка $B$ лежит на окружности $S_1$ и пусть точка $A$, отличная от точки $B$, лежит на касательной к окружности $S_1$, проходящей через точку $B$. Пусть точка $C$ выбрана вне окружности $S_1$, так, что отрезок $AC$ пересекает $S_1$ в двух различных точках. Пусть окружность $S_2$ касается прямой $AC$ в точке $C$ и окружности $S_1$ в точке $D$, на противоположной стороне от точки $B$ относительно прямой $AC$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $BCD$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

$O-$центр $BCD, E=(ABC)\cap S_2, F=CD\cap S_1.$

$$\angle CDB=\angle CED+\angle CFB=\angle DCA+\angle BFC, G=AC\cap FB,$$

$$\angle BGC=\angle FCG+\angle GFC=\angle CDB \Rightarrow G\in (BCD),$$

$$\angle CAB=\angle CGB-\angle GBA=\angle CDB-\angle FDB=180^\circ-2\angle FDB,$$

$$\angle COB=2\angle FDB\Rightarrow O\in (ABC).$$