Математикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 11 сынып

$B$ нүктесі $S_1$ шеңбердің бойында жатыр және $S_1$-ге $B$ нүктесінде жүргізілген жанама бойынан $A$ нүктесі алынған. $S_1$-дің сыртынан $S_1$-ді екі нүктеде қиятын $AC$ түзуі жүргізілген. $S_2$ шеңбері $AC$ түзуін $C$ нүктеде жанайды, ал $S_1$ шеңберін $D$ нүктесінде жанайды ($B$ мен $D$ нүктелері $AC$-ның екі жағында жатыр). $BCD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында жатқанын дәлелде.

Комментарий/решение

$O-$центр $BCD, E=(ABC)\cap S_2, F=CD\cap S_1.$

$$\angle CDB=\angle CED+\angle CFB=\angle DCA+\angle BFC, G=AC\cap FB,$$

$$\angle BGC=\angle FCG+\angle GFC=\angle CDB \Rightarrow G\in (BCD),$$

$$\angle CAB=\angle CGB-\angle GBA=\angle CDB-\angle FDB=180^\circ-2\angle FDB,$$

$$\angle COB=2\angle FDB\Rightarrow O\in (ABC).$$