Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс
Найдите все такие функции f:R→R, что при любых действительных x,y выполняется тождество
f(f(x)+y)=2x+f(f(y)−x).
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
x=0⇒f(f(0)+y)=f(f(y))
f(0)=a∈R⇒f(a+y)=f(f(y))
y=0⇒f(f(x))=2x+f(a−x)
{f(a+x)=f(f(x))2x+f(a−x)=f(f(x))⇒
⇒f(a+x)−f(a−x)=2x
a+x=x+Δx,a−x=x⇒2x=Δx
f(x+Δx)−f(x)=Δx⇒
⇒f(x+Δx)−f(x)Δx=1⇒
limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=limΔx→01⇒
⇒f′(x)=1⇒
⇒f(x)=x+C
P(x;−f(x)) f(f(−f(x))−x)=f(0)−2x,⇒f−сюрьективна.
⇒∃x0∈R такое что f(x0)=0.
P(x0;y) f(y)=2x0+f(f(y)−x0),
так как f сюрьективна ,то она принимает все действительные значения.
⇒f(y)=z,⇒z=2x0+f(z−x0)
z⇒z+x0
f(z)=z−x0,∀z∈R
Проверкой убеждаемся ,что она подходит.
Ответ: f(x)=x−x0, где x0=−f(0)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.