Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс


Найдите все такие функции f:RR, что при любых действительных x,y выполняется тождество f(f(x)+y)=2x+f(f(y)x).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
7 года 1 месяца назад #

x=0f(f(0)+y)=f(f(y))

f(0)=aRf(a+y)=f(f(y))

y=0f(f(x))=2x+f(ax)

{f(a+x)=f(f(x))2x+f(ax)=f(f(x))

f(a+x)f(ax)=2x

a+x=x+Δx,ax=x2x=Δx

f(x+Δx)f(x)=Δx

f(x+Δx)f(x)Δx=1

limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx=limΔx01

f(x)=1

f(x)=x+C

  3
4 года назад #

P(x;f(x)) f(f(f(x))x)=f(0)2x,fсюрьективна.

x0R такое что f(x0)=0.

P(x0;y) f(y)=2x0+f(f(y)x0),

так как f сюрьективна ,то она принимает все действительные значения.

f(y)=z,z=2x0+f(zx0)

zz+x0

f(z)=zx0,zR

Проверкой убеждаемся ,что она подходит.

Ответ: f(x)=xx0, где x0=f(0)