Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс

Найдите все такие функции $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, что при любых действительных $x, y$ выполняется тождество $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$.

Комментарий/решение

$$x=0 \Rightarrow f(f(0)+y)=f(f(y))$$

$$f(0)=a \in R \Rightarrow f(a+y)=f(f(y))$$

$$y=0 \Rightarrow f(f(x))=2x+f(a-x)$$

$$\left\{ \begin{gathered} f(a+x)=f(f(x))\\ 2x+f(a-x)=f(f(x)) \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$$

$$\Rightarrow f(a+x)-f(a-x)=2x$$

$$a+x =x +\Delta x, \qquad a-x=x \Rightarrow 2x =\Delta x$$

$$f(x+\Delta x)-f(x)=\Delta x \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x }=1\Rightarrow$$

$$\lim_{\Delta x \rightarrow 0 } \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x }=\lim_{\Delta x \rightarrow 0 } 1 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow f'(x)=1 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow f(x)=x+C$$

$P(x; -f(x))$ $f(f(-f(x)) - x) = f(0) - 2x, \Rightarrow f -$сюрьективна.

$\Rightarrow \exists x_0 \in \mathbb{R}$ такое что $f(x_0) = 0.$

$P(x_0; y)$ $f(y) = 2x_0 + f(f(y) - x_0),$

так как $f$ сюрьективна ,то она принимает все действительные значения.

$\Rightarrow f(y) = z,\Rightarrow z = 2x_0 + f(z - x_0)$

$z \Rightarrow z + x_0$

$f(z) = z - x_0 , \forall z \in \mathbb{R}$

Проверкой убеждаемся ,что она подходит.

Ответ: $f(x) = x - x_0,$ где $x_0 = -f(0)$