қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2026 год. Франция
Задача №1. Клетчатая доска $2026 \times 2026$ называется бордосской, если по крайней мере одна из её $2026^2$ клеток покрашена в красный цвет. Клетчатый прямоугольник назовём нечётным прямоугольником, если он содержит нечётное число красных клеток. Определите наибольшее натуральное число $M$ такое, что любая бордосская доска $2026 \times 2026$ содержит нечётный прямоугольник, в котором минимум $M$ клеток.
Замечание: Клетчатый прямоугольник — это прямоугольник, состоящий из клеток доски. Эти прямоугольники содержат все свои внутренние клетки.
комментарий/решение
Замечание: Клетчатый прямоугольник — это прямоугольник, состоящий из клеток доски. Эти прямоугольники содержат все свои внутренние клетки.
комментарий/решение
Задача №2. Дано натуральное число $n$. Мэри играет в игру. Первоначально на школьной доске записано число 1. За один ход Мэри может выбрать натуральное число $j$ такое, что $1 \leq j \leq n$, и заменить число $V$, записанное на школьной доске, на число $j \cdot R\left(\frac{V}{j}\right)$. Мэри может сделать столько ходов, сколько она захочет. Здесь $R(x)$ обозначает целое число, ближайшее к $x$; если $x$ является средним арифметическим двух последовательных целых, то оно округляется до большего из этих чисел. Например, $R(1{,}3)=1$ и $R(1{,}5)=R(1{,}8)=2$.
a) Докажите, что для каждого заданного значения $n$ существует такое натуральное $B$, что Мэри никогда не сможет получить на доске число, большее $B$.
b) Для любого заданного $n$ обозначим через $f(n)$ наибольшее число, которое Мэри может записать на доске за конечное число ходов. Докажите, что существует натуральное число $N$ такое, что для любого $n \geq N$ число $f(n)$ делится на 2026.
комментарий/решение
a) Докажите, что для каждого заданного значения $n$ существует такое натуральное $B$, что Мэри никогда не сможет получить на доске число, большее $B$.
b) Для любого заданного $n$ обозначим через $f(n)$ наибольшее число, которое Мэри может записать на доске за конечное число ходов. Докажите, что существует натуральное число $N$ такое, что для любого $n \geq N$ число $f(n)$ делится на 2026.
комментарий/решение
Задача №3. Обозначим через $\mathbb{R}$ множество всех действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие, что для любых действительных чисел $x, y$ справедливо равенство $$ f\left((f(x)+f(y))^2\right)=(x+y) f(x+y).$$
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Бесконечная последовательность действительных чисел $1=a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots$ удовлетворяет условию $a_n=a_{2 n}+a_{2 n+1}$ для любого натурального значения $n$. Пусть $r=2026^{2026}$. Докажите, что $$ \frac{1}{r} \leq a_r \leq \frac{2}{r+1}.$$
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Около остроугольного треугольника $ABC$, в котором $AC > AB$, описана окружность $\omega$ с центром в точке $O$. Касательные к окружности $\omega$, проведённые в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $K$. Прямая $BC$ вторично пересекает описанную около треугольника $A B K$ окружность в точке $Z \neq B$. Через $L$ обозначим середину отрезка $K Z$. Прямые $KZ$ и $AB$ пересекаются в точке $X$. Известно, что существует единственная точка $V$ на окружности, описанной около треугольника $ABL$, лежащая по ту же сторону от прямой $B C$, что и точка $A$, и такая, что прямая $OV$ перпендикулярна прямой $KZ$. Докажите, что прямая $L V$ перпендикулярна прямой $CX$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Дано простое число $p$ и натуральное число $n$, которое не делится на $p$. Пусть число $n$ имеет ровно $k$ натуральных делителей $1=d_1 < d_2 < \cdots < d_k=n$. Для $i=1,2, \ldots, k$ через $c_i$ обозначим количество таких натуральных делителей $\ell$ числа $d_i^2$, для которых $d_i-\ell$ делится на $p$. Докажите, что $$ (p-1)\left(c_1+c_2+\cdots+c_k\right) \geq k^2 . $$
комментарий/решение
комментарий/решение