Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2026 год. Франция

Дано простое число $p$ и натуральное число $n$, которое не делится на $p$. Пусть число $n$ имеет ровно $k$ натуральных делителей $1=d_1 < d_2 < \cdots < d_k=n$. Для $i=1,2, \ldots, k$ через $c_i$ обозначим количество таких натуральных делителей $\ell$ числа $d_i^2$, для которых $d_i-\ell$ делится на $p$. Докажите, что $$ (p-1)\left(c_1+c_2+\cdots+c_k\right) \geq k^2 . $$