Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2026 год. Франция

Есеп №1. $2026 \times 2026$ торлы тақта бордос тақтасы деп аталады, егер оның $2026^2$ ұяшығының кем дегенде біреуі қызыл түске боялған болса. Торлы тік төртбұрышты тақ тік төртбұрыш деп атаймыз, егер оның ішінде қызыл ұяшықтардың саны тақ болса. Осындай кез келген $2026 \times 2026$ бордос тақтасында кемінде $M$ ұяшықтан тұратын тақ тік төртбұрыш табылатындай ең үлкен натурал сан $M$-ді табыңыз.
Ескерту: Торлы тік төртбұрыш — бұл тақта ұяшықтарынан құралған тік төртбұрыш. Мұндай тік төртбұрыш өзінің барлық ішкі ұяшықтарын қамтиды.
комментарий/решение

Есеп №2. Натурал $n$ саны берілген. Мэри келесі ойын ойнайды. Бастапқыда тақтаға $1$ саны жазылған. Бір жүрісте Мэри $1 \leq j \leq n$ шартын қанағаттандыратын натурал $j$ санын таңдап, тақтадағы $V$ санын $j \cdot R\left(\frac{V}{j}\right)$ санына ауыстыра алады. Мэри қалағанынша көп жүріс жасай алады. Мұндағы $R(x)$ — $x$-ке ең жақын бүтін сан; егер $x$ екі көршілес бүтін сандардың арифметикалық ортасы болса, онда үлкеніне дейін жуықтайды. Мысалы, $R(1{,}3)=1$ және $R(1{,}5)=R(1{,}8)=2$.
а) Әрбір $n$ үшін сондай натурал $B$ саны бар екенін дәлелдеңіз, яғни Мэри ешқашан тақтада $B$-ден үлкен сан ала алмайды.
б) Әрбір $n$ үшін $f(n)$ — Мэри шектеулі жүрістер саны арқылы тақтада жаза алатын ең үлкен сан болсын. Сонда, барлық $n \geq N$ үшін $f(n)$ саны $2026$-ға бөлінетіндей, натурал $N$ саны бар екенін дәлелдеңіз,.
комментарий/решение

Есеп №3. $\mathbb{R}$ барлық нақты сандар жиыны. Кез келген нақты $x, y$ сандары үшін $$ f\left((f(x)+f(y))^2\right)=(x+y) f(x+y) $$ теңдігі орындалатындай, барлық $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №4. Кез келген натурал $n$ үшін, $1=a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots$ нақты сандардан тұратын шексіз тізбек $a_n=a_{2n}+a_{2n+1}$ шартын қанағаттандырады. $r=2026^{2026}$ болсын. $$ \frac{1}{r} \leq a_r \leq \frac{2}{r+1}$$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. $AC > AB$ болатын сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышына центрі $O$ болатын сырттай $\omega$ шеңбері сызылған. $\omega$ шеңберіне $B$ және $C$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $K$ нүктесінде қиылысады. $BC$ түзуі $ABK$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $Z \neq B$ нүктесінде қайта қиып өтеді. $L$ — $KZ$ кесіндісінің ортасы. $KZ$ және $AB$ түзулері $X$ нүктесінде қиылысады. $ABL$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберде $BC$ түзуінің $A$ нүктесі жатқан жағында орналасқан және $OV \perp KZ$ болатындай жалғыз $V$ нүктесі бар екені белгілі. $LV \perp CX$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №6. Жай $p$ саны және $p$-ға бөлінбейтін натурал $n$ саны берілген. $n$ санының дәл $k$ натурал бөлгіші болсын: $$ 1=d_1 < d_2 < \cdots < d_k=n. $$ $i=1,2,\ldots,k$ үшін $c_i$ арқылы $d_i^2$ санының сондай натурал бөлгіштерінің санын белгілейік, олар үшін $d_i-\ell$ саны $p$-ға бөлінеді. $$ (p-1)\left(c_1+c_2+\cdots+c_k\right) \geq k^2$$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

результаты