Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2026 год. Франция

Бесконечная последовательность действительных чисел $1=a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots$ удовлетворяет условию $a_n=a_{2 n}+a_{2 n+1}$ для любого натурального значения $n$. Пусть $r=2026^{2026}$. Докажите, что $$ \frac{1}{r} \leq a_r \leq \frac{2}{r+1}.$$

Комментарий/решение

Claim: $\sum \limits_{i=n}^{2n-1}{a_i} = 1$ при всех натуральных $n$

Док-во: Докажем по индукций. База: $n=1,2$ очевидно.

Переход: Пусть верно при $n$ , докажем для $n+1$: $\sum \limits_{i=n+1}^{2n+1}{a_i} = \sum \limits_{i=n}^{2n-1}{a_i} - a_n + a_{2n} +a_{2n+1} = 1$

Lower Bound: $1=\sum \limits_{i=r}^{2r-1}{a_i} \leq r \cdot a_r$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{r} \leq a_r$

Upper Bound: Заметим что $r$ четный $\Rightarrow$ $r=2k$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow$ $1 = \sum \limits_{i=k+1}^{2k+1}{a_i} \geq a_{2k} \cdot k + a_{2k+1}$ $\Rightarrow$ $1-\frac{1}{2k+1} \geq 1 - \frac{1}{a_{2k+1}} \geq a_{2k} \cdot k$ $\Rightarrow$ $\frac{2k}{2k+1} \geq a_{2k} \cdot k $ $\Rightarrow$ $\frac {2}{2k+1} \geq a_{2k}$

\Утверждение (Claim): \(a_1 = \sum_{i=n}^{2n-1} a_i\) для всех \(n \geq 1\).Доказательство (Proof): Пусть \(2^{k}\) — наибольшая степень двойки, такая что \(2^k \leq n\), и запишем \(n = 2^k + m\) для некоторого \(m < 2^k\). Тогда:\(\sum _{i=n}^{2n-1}a_{i}=a_{2^{k}+m}+\dots +a_{2^{k+1}-1}+a_{2^{k+1}}+\dots +a_{2^{k+1}+2m-1}\)\(=\sum _{i=2^{k}}^{2^{k+1}-1}a_{i}-\sum _{i=2^{k}}^{2^{k}+m-1}a_{i}+\sum _{j=2^{k}}^{2^{k}+m-1}(a_{2j}+a_{2j+1})=a_{1}\)Следовательно, доказано (Hence proven).Далее (Now): \(a_n, a_{n+1}, \dots, a_{2n-1} \in \mathbb{R}^+\). Если \(a_i \ge a_{i+1}\), то \(a_n \geq \frac{1}{n}\) (при условии \(a_1=1\)).Более того (Furthermore): для \(i \leq 2n\) выполняется \(a_i \geq a_{2n} \geq \frac{1}{2} a_n\).Откуда (Whence):\(\sum _{i=n}^{2n-1}a_{i}\ge a_{n}+a_{n+1}+\dots +\frac{(n-1)}{2}a_{n}\)\(=a_{n}+\frac{n-1}{2}a_{n}=\frac{n+1}{2}a_{n}\)Перегруппировав (Rearranging): \(a_{n}\left(\frac{n+1}{2}\right)\le 1\implies a_{n}\le \frac{2}{n+1}\).Таким образом, для всех \(n \geq 1\) (Thus for all \(n \ge 1\)):\(\frac{1}{n}\le a_{n}\le \frac{2}{n+1}\)