Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2026 год. Франция

Бесконечная последовательность действительных чисел $1=a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots$ удовлетворяет условию $a_n=a_{2 n}+a_{2 n+1}$ для любого натурального значения $n$. Пусть $r=2026^{2026}$. Докажите, что $$ \frac{1}{r} \leq a_r \leq \frac{2}{r+1}.$$