Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2026 год. Франция

Около остроугольного треугольника $ABC$, в котором $AC > AB$, описана окружность $\omega$ с центром в точке $O$. Касательные к окружности $\omega$, проведённые в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $K$. Прямая $BC$ вторично пересекает описанную около треугольника $A B K$ окружность в точке $Z \neq B$. Через $L$ обозначим середину отрезка $K Z$. Прямые $KZ$ и $AB$ пересекаются в точке $X$. Известно, что существует единственная точка $V$ на окружности, описанной около треугольника $ABL$, лежащая по ту же сторону от прямой $B C$, что и точка $A$, и такая, что прямая $OV$ перпендикулярна прямой $KZ$. Докажите, что прямая $L V$ перпендикулярна прямой $CX$.

Комментарий/решение

Claim 1: Точки $A-C-L$ лежат на одной прямой

Док-во: $AK \cap \omega = N $ $\Rightarrow$ $\angle AKZ = \angle ABZ = \angle ABC = \angle ANC$ $\Rightarrow$ $CN \parallel KZ$ . Пусть $AC \cap KZ = T$ $\Rightarrow$ $(K,Z;T,P_{\infty})$ $\overset{C}{=}$ $(K,AK \cap BC;A,N)$ $\overset{B}{=}$ $(B,C;A,N)$ $= -1$ $\Rightarrow$ $T=L$.

Claim 2: $S = CX \cap BL$ лежит на $\omega$

Док-во: Пусть $BL \cap (ABC) = Y$ $\angle BAK = a$ , $\angle CAK = b$ $\Rightarrow$ $\angle BAC = \angle KBC = \angle KBZ = \angle KAZ = a+b = \angle CAK + \angle ZAC$ $\Rightarrow$ $\angle ZAC = a$ и $\angle BAK = \angle BZK = a = \angle ZAC$ $\Rightarrow$ $LZ$ касается $(ACZ)$ $\Rightarrow$ $LZ^2 = LC \cdot LA = LY \cdot LB = LK^2$ $\Rightarrow$ $Y$ - Точка Шалтая $ \triangle KBZ$ Вершины $B$ $\Rightarrow$ $\angle KYZ = 180 - \angle KBZ = 180 - \angle BAC = 180-a-b = 180 - \angle KCB = \angle KCZ$ $\Rightarrow$ $KYCZ$ вписанный.

Тогда $AB$ , $KZ$ , $CY$ пересекаются в одной точке как попарные радикальные оси $\omega$ , $(ABKZ)$ , $(KYCZ)$ $\Rightarrow$ $CY$ проходит через $X$ $\Rightarrow$ $Y=S$

Claim 3: $D \in (ABLV)$ и $\angle VBL = 90$

Док-во: $D=OV \cap KZ$ $\Rightarrow$ $OD \bot KZ$ $\Rightarrow$ $OBKDC$ вписан $\Rightarrow$ $ \angle BDX$ $=$ $\angle BDK = \angle BCK = \angle BAC = a+b$ $\Rightarrow$ $ABDL$ вписан и $ABLV$ вписан $\Rightarrow$ $ABDLV$ вписан откуда $\angle VBL = 90$

Conclusion: $OD \bot KZ$ $\Rightarrow$ $OBKDC$ вписан $\Rightarrow$ $ \angle BDX$ $=$ $\angle BDK = \angle BCK = \angle BAC = \angle BYX$ $\Rightarrow$ $BXDY$ вписан $\Rightarrow$ $\angle DXY = \angle DBY$.

$\angle DXY + \angle XLV = \angle LXC +\angle XLV = \angle DBY + \angle DLV = \angle DBY + 180 - \angle VBL - \angle DBY = 90$ $\Rightarrow$ $CX \bot LV$