Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2026 год. Франция

Около остроугольного треугольника $ABC$, в котором $AC > AB$, описана окружность $\omega$ с центром в точке $O$. Касательные к окружности $\omega$, проведённые в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $K$. Прямая $BC$ вторично пересекает описанную около треугольника $A B K$ окружность в точке $Z \neq B$. Через $L$ обозначим середину отрезка $K Z$. Прямые $KZ$ и $AB$ пересекаются в точке $X$. Известно, что существует единственная точка $V$ на окружности, описанной около треугольника $ABL$, лежащая по ту же сторону от прямой $B C$, что и точка $A$, и такая, что прямая $OV$ перпендикулярна прямой $KZ$. Докажите, что прямая $L V$ перпендикулярна прямой $CX$.