Математикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. $x,y,z$ оң нақты сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $$\dfrac{{{x}^{3}}}{x+y}+\dfrac{{{y}^{3}}}{y+z}+\dfrac{{{z}^{3}}}{z+x}\ge \dfrac{xy+yz+zx}{2}.$$
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $M$ және $N$ сәйкес $AC$ және $BC$ қабырғаларының ішкі нүктелері. Ал $K$ нүктесі $MN$ кесіндісінің ортасы болсын. $C$-дан өзге $D$ нүктесі $CAN$ және $BCM$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберледрің қиылысыу нүктесі болсын. $CD$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі арқылы өткенде ғана $AB$ кесіндісінің ортасына тұрғызылған перпендикуяр $K$ нүктесі арқылы өтетінін дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №3. $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ және $\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ тізбектері келесі ережемен анықталады: ${{a}_{0}}={{b}_{0}}=0$, ${{a}_{n}}=a_{n-1}^{2}+3$, ${{b}_{n}}=b_{n-1}^{2}+{{2}^{n}}$. Қайсысы үлкен — ${{a}_{2003}}$ пе әлде ${{b}_{2003}}$ пе?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Қағаздар ауданы 2003 болатын тең екі квадрат қиылып алынған. Әрбір квадрат ауданы 1-ге тең 2003 көпбұрышқа бөлшектенген. Сонан соң екі квадрат беттестіріледі. Осы қабаттасқан екі квадрат қағазды әрбір квадраттағы әрбір көпбұрыш тесілетіндей етіп инемен 2003 рет тесуге болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. $B$ және $C$ бұрыштары сүйір $ABC$ үшбұрышы берілгсн. $L$ және $M$ төбелері сәйкес $AB$ және $AC$ қабырғаларында, ал $N$ және $K$ төбелері $BC$ қабырғасында жататындай етіп, осы үшбұрышка іштей $KLMN$ тіктөртбұрышы сызылған. Тіктөртбұрыштың центрін $O$ деп белгілейік. $BO$ және $CO$ түзулері тіктөртбұрыштың $MN$ және $LK$ қабырғаларын сәйкес ${{C}_{1}}$ және ${{B}_{1}}$ нүктелерінде қияды. $AO$, $B{{B}_{1}}$ және $C{{C}_{1}}$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №6. Кез келген $p$ жай саны үшін $C_{2p}^{p}-2$ саны ${{p}^{3}}$-қа бөлінетінін дәлелдеңіздер. Мұндағы $C_{2p}^{p}=\dfrac{\left( 2p \right)!}{{{\left( p! \right)}^{2}}}$.
комментарий/решение

Есеп №7. Кез келген $x,y\in {{\mathbb{R}}^{+}}$ үшін $f\left( xf\left( y \right) \right)=f\left( xy \right)+x$ теңдігін қанағаттандыратын барлық мүмкін $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар. Мұндағы $\mathbb{R}$ — оң нақты сандар жиыны.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Өлшемі $n\times n$ болатын шаршы тақта (бұл жерде $n$ — тақ сан) шахмат тақтасы секілді боялған және оның бұрышындағы шаршыларының түсі қара екені белгілі. Осы тактаның қара шаршыларын $n$-нің қандай мәндері үшін үш шаршыдан құралған бұрыштармен қабаттастырмай түгел жабуға болады? Осы шарт орындалатын әрбір $n$ үшін бұрыштардың минимал саны қанша?
комментарий/решение