Математикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1.

$x,y,z$ оң нақты сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$\dfrac{{{x}^{3}}}{x+y}+\dfrac{{{y}^{3}}}{y+z}+\dfrac{{{z}^{3}}}{z+x}\ge \dfrac{xy+yz+zx}{2}.$
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$M$ және

$N$ сәйкес

$AC$ және

$BC$ қабырғаларының ішкі нүктелері. Ал

$K$ нүктесі

$MN$ кесіндісінің ортасы болсын.

$C$ -дан өзге

$D$ нүктесі

$CAN$ және

$BCM$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберледрің қиылысыу нүктесі болсын.

$CD$ түзуі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі арқылы өткенде ғана

$AB$ кесіндісінің ортасына тұрғызылған перпендикуяр

$K$ нүктесі арқылы өтетінін дәлелде.
комментарий/решение

Есеп №3.

$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ және

$\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ тізбектері келесі ережемен анықталады:

${{a}_{0}}={{b}_{0}}=0$ ,

${{a}_{n}}=a_{n-1}^{2}+3$ ,

${{b}_{n}}=b_{n-1}^{2}+{{2}^{n}}$ . Қайсысы үлкен —

${{a}_{2003}}$ пе әлде

${{b}_{2003}}$ пе?
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Қағаздар ауданы 2003 болатын тең екі квадрат қиылып алынған. Әрбір квадрат ауданы 1-ге тең 2003 көпбұрышқа бөлшектенген. Сонан соң екі квадрат беттестіріледі. Осы қабаттасқан екі квадрат қағазды әрбір квадраттағы әрбір көпбұрыш тесілетіндей етіп инемен 2003 рет тесуге болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$B$ және

$C$ бұрыштары сүйір

$ABC$ үшбұрышы берілгсн.

$L$ және

$M$ төбелері сәйкес

$AB$ және

$AC$ қабырғаларында, ал

$N$ және

$K$ төбелері

$BC$ қабырғасында жататындай етіп, осы үшбұрышка іштей

$KLMN$ тіктөртбұрышы сызылған. Тіктөртбұрыштың центрін

$O$ деп белгілейік.

$BO$ және

$CO$ түзулері тіктөртбұрыштың

$MN$ және

$LK$ қабырғаларын сәйкес

${{C}_{1}}$ және

${{B}_{1}}$ нүктелерінде қияды.

$AO$ ,

$B{{B}_{1}}$ және

$C{{C}_{1}}$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №6. Кез келген

$p$ жай саны үшін

$C_{2p}^{p}-2$ саны

${{p}^{3}}$ -қа бөлінетінін дәлелдеңіздер. Мұндағы

$C_{2p}^{p}=\dfrac{\left( 2p \right)!}{{{\left( p! \right)}^{2}}}$ .
комментарий/решение

Есеп №7. Кез келген

$x,y\in {{\mathbb{R}}^{+}}$ үшін

$f\left( xf\left( y \right) \right)=f\left( xy \right)+x$ теңдігін қанағаттандыратын барлық мүмкін

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар. Мұндағы

$\mathbb{R}$ — оң нақты сандар жиыны.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Өлшемі

$n\times n$ болатын шаршы тақта (бұл жерде

$n$ — тақ сан) шахмат тақтасы секілді боялған және оның бұрышындағы шаршыларының түсі қара екені белгілі. Осы тактаның қара шаршыларын

$n$ -нің қандай мәндері үшін үш шаршыдан құралған бұрыштармен қабаттастырмай түгел жабуға болады? Осы шарт орындалатын әрбір

$n$ үшін бұрыштардың минимал саны қанша?
комментарий/решение