Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс


Найдите все функции f:R+R+, удовлетворяющие уравнению f(xf(y))=f(xy)+x, для всех x,yR+, где R+ обозначает множество положительных действительных чисел.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
6 года 2 месяца назад #

Ответ:f(x)=x+1

Пусть P(x,y) данное равенство. ТогдаP(f(x),y):

f(f(x)f(y))=f(f(x)y)+f(x)=f(xy)+y+f(x).

Но P(f(y),x):

f(f(y)f(x))=f(f(y)x)+f(y)=f(xy)+x+f(y). Тогда f(x)+y=f(y)+x. Eсли зафиксировать y, f(y)y=c=const. Тогда f(x)x=c или f(x)=x+c. При проверке выясняется что c=1.