Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс
Найдите все функции f:R+→R+, удовлетворяющие уравнению
f(xf(y))=f(xy)+x, для всех x,y∈R+, где R+ обозначает множество положительных действительных чисел.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ:f(x)=x+1
Пусть P(x,y) данное равенство. ТогдаP(f(x),y):
f(f(x)f(y))=f(f(x)y)+f(x)=f(xy)+y+f(x).
Но P(f(y),x):
f(f(y)f(x))=f(f(y)x)+f(y)=f(xy)+x+f(y). Тогда f(x)+y=f(y)+x. Eсли зафиксировать y, f(y)−y=c=const. Тогда f(x)−x=c или f(x)=x+c. При проверке выясняется что c=1.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.