қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс
Задача №1. Для положительных действительных чисел $x, y, z$ докажите неравенство:
$$
\frac{x^3}{x+y}+\frac{y^3}{y+z}+\frac{z^3}{z+x}\geq \frac{xy+yz+zx}{2}.
$$
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. Пусть в остроугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ являются внутренними точками сторон $AC$ и $BC$ соответственно, а $K$ — серединой отрезка $MN$. $D$ является точкой пересечения описанных окружностей треугольников $CAN$ и $BCM$ , отличной от точки $C$. Докажите, что прямая $CD$ проходит через центр описанной окружности треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда серединный перпендикуляр отрезка $AB$ проходит через точку $K$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Заданы две последовательности $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$ по следующему правилу:
$$
a_0 = b_0 = 0, ~a_n = a_{n-1}^2 +3, ~b_n=b_{n-1}^2 +2^n.
$$
Что больше $a_{2003}$ или $b_{2003}$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Из листа бумаги вырезали два квадрата площади 2003. Каждый квадрат разделен на 2003 непересекающихся многоугольника площади 1. Затем два квадрата накладывают друг на друга. Докажите, что полученный двойной слой бумаги можно проколоть иголкой 2003 раз таким образом, что каждый многоугольник на каждом квадрате будет проколот по одному разу.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Дан треугольник $ABC$ с острыми углами $B$ и $C$. В него вписан прямоугольник $KLMN$ так, что точки $L$ и $M$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, а точки $N$ и $K$ — на стороне $CB$. Точка $O$ — центр прямоугольника. Прямые $BO$ и $CO$ пересекают стороны прямоугольника $MN$ и $LK$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Докажите, что прямые $AO, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Докажите, что число $C_{2p}^p - 2$ делится на $p^3$, для любого простого
$p \geq 5$, где $C_{2p}^p=\frac{(2p)!}{{(p!)}^2}$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Найдите все функции $f:\mathbb{R} ^{+} \rightarrow \mathbb{R} ^+$, удовлетворяющие уравнению
$f(xf(y))=f(xy)+x$, для всех $x, y \in \mathbb{R} ^+$, где $\mathbb{R} ^+$ обозначает множество положительных действительных чисел.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Клетчатая доска размера $n\times n$, где $n$ является нечетным натуральным числом, покрашена в шахматном порядке так, что угловые клетки оказались черными. При каких значениях $n$ все черные клетки данной доски можно покрыть трехклеточными уголками без наложения? Для каждого значения $n$, при которых выполняется данное условие, чему равно минимальное число уголков?
комментарий/решение
комментарий/решение