Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс

Пусть в остроугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ являются внутренними точками сторон $AC$ и $BC$ соответственно, а $K$ — серединой отрезка $MN$. $D$ является точкой пересечения описанных окружностей треугольников $CAN$ и $BCM$ , отличной от точки $C$. Докажите, что прямая $CD$ проходит через центр описанной окружности треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда серединный перпендикуляр отрезка $AB$ проходит через точку $K$.

Комментарий/решение

Пусть у нас имеется треугольник $ABC$ и $OF$ - серединный перпендикуляр $F \in AB$, возьмем некоторую точку $M$ как по условию, проведем прямую $l || OF$ через точку $M$, так же $C'$ симметричная к $C$ отн $OF$ и $O$ центр описанной окружности $ABC$ если $G$ пересечение $l$ и описанной окружности $BCM$ тогда $\angle BGM = \angle BCM = \angle BOF$ значит $B,O,G$ лежат на одной прямой, опишем окружность около $BGC'$ пусть она пересекает $l$ в точке $N'$ получаем $\angle BC'N' = \angle BGM = \angle BCM = \angle BCA = \angle BC'A$ или $N' \in AC'$ тогда отразим эту окружность симметрична окружность отн-о $OF$ тогда она пересекает по построению $BC$ в точке $N$ для которой выполняется очевидно $MK=NK$ где $K \in MN \cap OF$ но тогда $O$ является рад центром окружностей $ACN, \ BC'N', \ BMG$ что доказывает задачу