Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс

Пусть в остроугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ являются внутренними точками сторон $AC$ и $BC$ соответственно, а $K$ — серединой отрезка $MN$. $D$ является точкой пересечения описанных окружностей треугольников $CAN$ и $BCM$ , отличной от точки $C$. Докажите, что прямая $CD$ проходит через центр описанной окружности треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда серединный перпендикуляр отрезка $AB$ проходит через точку $K$.