Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 10 класс

Дан треугольник $ABC$ с острыми углами $B$ и $C$. В него вписан прямоугольник $KLMN$ так, что точки $L$ и $M$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, а точки $N$ и $K$ — на стороне $CB$. Точка $O$ — центр прямоугольника. Прямые $BO$ и $CO$ пересекают стороны прямоугольника $MN$ и $LK$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Докажите, что прямые $AO, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

Пусть $F$ пересечение $AO$ и $BC$, так же $E$ пересечение $CO, MN$ и $D$ пересечение $LK, BO$ если $G \in CC_1 \cap AO$ и $X \in BB_1 \cap AO$ тогда по цепочке двойных отношений : $$(AO,GF) \stackrel{C}{=} (ME, C_1N) \stackrel{O}{=} (KB_1, DL) \stackrel{B}{=} (FX, OA) = (AO, XF) $$ последнее по свойству, значит $G =X$