1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Халықаралық олимпиадалар
  4. Математикадан «Туймаада» олимпиадасы
  5. Туймаада 2022
  6. Младшая лига 2022

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2022 год


Есеп №1. Петя мен Васяның үстелінде 1500 кәмпит салынған ваза тұр, ал үстелдің астында үлкен қап толы қосымша кәмпиттер бар. Олар кезекпен жүріс жасайды, бірінші болып Петя бастайды. Әр жүрісінде ойыншы не вазадан 7 кәмпит жейді, не үстелдің астынан 6 кәмпит алып, вазасына салады. Бірақ ойыншы екі жүріс қатарынан үстелдің астына қол сала алмайды. Ваза босап қалғаннан кейін жүріс жасаған ойыншы жеңеді. Егер ойыншы жүріс жасай алмаса, тең ойын жарияланады. Қайсыбір ойыншының жеңу стратегиясы бар ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Есеп №2. Бүтін $a$, $b$, $c$ сандары және тақ жай $p$ саны берілген. Кейбір бүтін $x$ және $y$ үшін $x^2+y^2+ax+by+c$ өрнегі $p$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Есеп №3. $ABC$ тік бұрышты үшбұрышының биссектрисалары $I$ нүктесінде қиылысады, мұнда тік бұрыш $B$ төбесінде орналасқан. $B$ нүктесінен $IC$ түзуіне түсірілген перпендикуляр $IA$ түзуін $D$ нүктесінде қиып өтеді, ал $B$ нүктесінен $IA$ түзуіне түсірілген перпендикуляр $IC$ түзуін $E$ нүктесінде қиып өтеді. $IDE$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі $AC$ түзуінде жататынын дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Жазықтықта бірнеше «жақсы» және бірнеше «жаман» нүкте белгіленген және бірнеше кесінді жүргізілген. Әр кесінді бір жақсы нүкте мен бір жаман нүктені қосады, әрі әр нүктеден 100-ден көп емес кесінді шығады. Қолда 200 түстен тұратын бояулар бар. Әр кесіндінің бір жартысын бір түспен, екінші жартысын басқа түспен бояу қажет. Кез келген ортақ ұштары бар екі кесіндінің төрт түрлі түспен боялуы міндетті түрде мүмкін бе? ( X. Zhang, M. Qi )
комментарий/решение
Есеп №5. $24\times 8$ кестесінің әр қатарында 1-ден 8-ге дейінгі сандарды қандай да бір ретпен жазып шыққан. Әр бағандағы сандар көбейтілді. Осы көбейтінділердің қосындысының ең кіші мүмкін мәнін табыңыз. ( C. Wu )
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Невозвращенск қаласында $N$ автобус аялдамасы бар, олар 1-ден $N$-ге дейін нөмірленген. Әр маршруттың екі аялдамасы бар: бастапқы және соңғы, автобус тек бір бағытта жүреді. Қаланың автобус желісі келесідей: кез келген аялдамадан шығып, автобуспен қайта оралу мүмкін емес. Мэр егер қандай да бір маршрут үлкен нөмірлі аялдамадан кіші нөмірлі аялдамаға барса, сол маршруттағы аялдамалардың нөмірлері жазылған тақтайшаларды ауыстыруды бұйырады. Мұндай тақтайшаларды ауыстырулар шексіз жалғасуы мүмкін бе? ( К. Иванов )
комментарий/решение(1)
Есеп №7. $ABC$ теңқабырғалы үшбұрышында $M$ нүктесі $AB$ қабырғасының ортасы. $BC$ қабырғасынан $BD:DC=3:1$ болатын $D$ нүктесі таңдалды. $C$ нүктесі арқылы $MD$ түзуіне параллель жүргізілген түзу бойында, үшбұрыштың ішінде, келесідей $T$ нүктесі табылады: $\angle CTA=150^\circ$. $\angle MTD$ бұрышын табыңыз. ( К. Иванов )
комментарий/решение
Есеп №8. Жол бойында 8 баған тұр. Торғай бірінші бағаннан бастайды, әр минут сайын көршілес бағанға ұшып барады. $a(n)$ деп — $2n+1$ ұшудан кейін соңғы бағанға жетудің жолдарының санын белгілейік (мұнда $a(m)=0$ егер $m<3$ болса). Барлық $n\ge4$ үшін $$a(n)-7a(n-1)+15a(n-2)-10a(n-3)+a(n-4)=0$$ екенін дәлелдеңіз. ( Ф. Петров, Т. Амдеберхан )
комментарий/решение