Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2022 год

В каждой строке таблицы $24\times 8$ выписана перестановка чисел от 1 до 8. После этого в каждом столбце числа перемножены. Какое наименьшее значение может иметь сумма полученных произведений? ( C. Wu )

Комментарий/решение

Обозначим через $P_1, P_2, \ldots, P_8$ произведения чисел в столбцах.

Тогда по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем

$P_1 + P_2 + \cdots + P_8 \;\;\geq\;\; 8 \sqrt[8]{P_1 P_2 \cdots P_8}.\tag{1}$

Заметим, что $\sqrt[8]{P_1 P_2 \cdots P_8}= \sqrt[8]{(8!)^{24}}= (8!)^3,\tag{2}$

так как под корнем стоит произведение всех чисел таблицы.

В неравенстве о средних равенство достигается тогда и только тогда, когда

$P_1 = P_2 = \cdots = P_8.$

Этот случай легко реализовать, если расставить в таблице по три раза одну и ту же перестановку и все её циклические сдвиги. Таким образом, именно такая конфигурация доставляет минимум суммы произведений.