Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2022 год

Точка $M$ — середина стороны $AB$ равностороннего треугольника $ABC$. На стороне $BC$ выбрана такая точка $D$, что $BD:DC=3:1$. На прямой, проходящей через точку $C$ параллельно $MD$, внутри $ABC$ нашлась такая точка $T$, что $\angle CTA=150^\circ$. Найдите угол $MTD$. ( К. Иванов )

Комментарий/решение

Возьмём середину $BC$—$F$. $F'$ симметрична точке $F$ относительно отрезку $MD$. Пока что докажем что $T \equiv F'$. В силу симметрии $AM=MB=0.5AC=MF=MF' \Rightarrow ABFF'$ вписанный $\Rightarrow \angle AF'F=180^\circ-60^\circ=120^\circ, FD=DC=DF' \Rightarrow \angle FF'C=90^\circ \Rightarrow \angle CF'A=150^\circ$, в силу симметрии $FF' \perp MD \Rightarrow MD \parallel CF'$ и зная что в треуголнике есть единственная точка под которым стороны видны заданным углом понимаем что $F'\equiv T$ в силу симметрии $\angle MTD= \angle MFD= 180^\circ-\angle BAC=180^\circ-60^\circ=120^\circ$