қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. $3 \times 3$ тақтаның бұрышындағы төрт шаршыны алып тастағаннан кейін пайда болатын фигураны крестик деп атайық.
$8 \times 8$ тақтасына бірін-бірі жаппайтын және тақтадан тыс шықпайтын ең көп дегенде қанша крестик қойса болады?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Кез келген нақты ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:
$$
\frac{x_1}{1+{x_1}^{2}}+\frac{x_2}{1+{x_1}^{2} +{x_2}^{2}}+\dots +\frac{x_n}{1+{x_1}^2+ \dots +{x_n}^2} < \sqrt n.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Периметрі 1-ге тең кез келген үшбұрыш қабырғаларының бойында осы үшбұрыштың периметрін қақ бөлетін және арақашықтығы $c$-дан аспайтын екі нүкте табылатындай ең кіші $c$ санын табыңдар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Кез келген $a\in A$ үшін осы $A$ жиындағы $a$-дан өзгеше барлық сандарының көбейтіндісі $a$-ға бөлгенде 1-ге тең қалдық беретіндей 2002 бүтін саннан тұратын $A$ жиыны табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Кез келген нақты $x,y$ сандары үшін $f({{x}^{2}}+f(y))={{(x-y)}^{2}}\cdot f(x+y)$ теңдігі орыңдалатыңдай барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Жазықтықта сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген. ${{A}_{1}}$ және ${{B}_{1}}$ нүктелері сәйкесінше $A$ және $B$ төбелерінен түсірілген биіктіктерінің табандары болсын. $C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге ${{A}_{1}}$ және ${{B}_{1}}$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар $M$ нүктесінде қиылысады. $AM{{B}_{1}},BM{{A}_{1}}$ және $C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің ортақ нүктесі табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $a$, $b$, $c$, $a+b-c$, $a+c-b$, $b+c-a$, $a+b+c$ — әр түрлі жай саңдар болсын, мұнда $\left\{ a,b,c \right\}$ сандардың екеуінің қосындысы 800-ге тең. $d$ арқылы осы жеті санның ең үлкен және ең кішісінің айырмасын белгілейік. $d$-ның ең үлкен мүмкін болатын мәнін табыңдар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. $n$ шегіртке бір қатарға тұрғызылған. Кез келген мезетте олардың біреуіне оң немесе сол жақтағы көрші екі шегірткеден аттап секіруге рұқсат етіледі. $n$-ның қандай мәндерінде шегірткелер кері тәртіпте орналаса алады?
(
А. Кунгожин
)
комментарий/решение
комментарий/решение