Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1.

$3 \times 3$ тақтаның бұрышындағы төрт шаршыны алып тастағаннан кейін пайда болатын фигураны крестик деп атайық.

$8 \times 8$ тақтасына бірін-бірі жаппайтын және тақтадан тыс шықпайтын ең көп дегенде қанша крестик қойса болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кез келген нақты

${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$\frac{x_1}{1+{x_1}^{2}}+\frac{x_2}{1+{x_1}^{2} +{x_2}^{2}}+\dots +\frac{x_n}{1+{x_1}^2+ \dots +{x_n}^2} < \sqrt n.$
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Периметрі 1-ге тең кез келген үшбұрыш қабырғаларының бойында осы үшбұрыштың периметрін қақ бөлетін және арақашықтығы

$c$ -дан аспайтын екі нүкте табылатындай ең кіші

$c$ санын табыңдар.
комментарий/решение

Есеп №4. Кез келген

$a\in A$ үшін осы

$A$ жиындағы

$a$ -дан өзгеше барлық сандарының көбейтіндісі

$a$ -ға бөлгенде 1-ге тең қалдық беретіндей 2002 бүтін саннан тұратын

$A$ жиыны табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №5. Кез келген нақты

$x,y$ сандары үшін

$f({{x}^{2}}+f(y))={{(x-y)}^{2}}\cdot f(x+y)$ теңдігі орыңдалатыңдай барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Жазықтықта сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышы берілген.

${{A}_{1}}$ және

${{B}_{1}}$ нүктелері сәйкесінше

$A$ және

$B$ төбелерінен түсірілген биіктіктерінің табандары болсын.

$C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге

${{A}_{1}}$ және

${{B}_{1}}$ нүктелерінде жүргізілген жанамалар

$M$ нүктесінде қиылысады.

$AM{{B}_{1}},BM{{A}_{1}}$ және

$C{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің ортақ нүктесі табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №7.

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$a+b-c$ ,

$a+c-b$ ,

$b+c-a$ ,

$a+b+c$ — әр түрлі жай саңдар болсын, мұнда

$\left\{ a,b,c \right\}$ сандардың екеуінің қосындысы 800-ге тең.

$d$ арқылы осы жеті санның ең үлкен және ең кішісінің айырмасын белгілейік.

$d$ -ның ең үлкен мүмкін болатын мәнін табыңдар.
комментарий/решение

Есеп №8.

$n$ шегіртке бір қатарға тұрғызылған. Кез келген мезетте олардың біреуіне оң немесе сол жақтағы көрші екі шегірткеден аттап секіруге рұқсат етіледі.

$n$ -ның қандай мәндерінде шегірткелер кері тәртіпте орналаса алады? ( А. Кунгожин )
комментарий/решение