Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс
Найти все функции f:R→R, для которых при любых вещественных x и y справедливо равенство f(x2+f(y))=(x−y)2⋅f(x+y).
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ:f(x)=0;f(x)=−x2
Пусть P(x;y) это данное равенство. Тогда при P(0;x) f(f(x))=x2f(x). Пусть мы нашли такие a и b, что f(a)=f(b). Тогда a2f(a)=f(f(a))=f(f(b))=b2f(b), откуда f(a)(a2−b2)=0. Если f(a)=0, тогда одно из решений f(x)=0, а если a2−b2=0, тогда |a|=|b|. Тогда при P(0;0):
f(f(0))=0.
И при P(0;f(0)):
f(0)=0.
Тогда при P(x;0):
f(x2)=x2f(x).
Но x2f(x)=f(f(x)). Тогда f(x2)=f(f(x)) или x2=|f(x)|. Пусть для какого-то x0, f(x0)=x20 (где x0≠0). Тогда при P(x0,x0):
f(2x20)=0, тогда 2x20=0. Противоречие. Тогда для всех x f(x)=−x2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.