Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс

Найти все функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ для которых при любых вещественных $x$ и $y$ справедливо равенство $f(x^2+f(y))=(x-y)^2 \cdot f(x+y). $

Комментарий/решение

$Ответ:f(x)=0; f(x)=-x^2$

Пусть $P(x;y)$ это данное равенство. Тогда при $P(0;x)$ $f(f(x))=x^2f(x)$. Пусть мы нашли такие $a$ и $b$, что $f(a)=f(b)$. Тогда $a^2f(a)=f(f(a))=f(f(b))=b^2f(b)$, откуда $f(a)(a^2-b^2)=0$. Если $f(a)=0$, тогда одно из решений $f(x)=0$, а если $a^2-b^2=0$, тогда $|a|=|b|$. Тогда при $P(0;0)$:

$f(f(0))=0$.

И при $P(0;f(0))$:

$f(0)=0.$

Тогда при $P(x;0)$:

$f(x^2)=x^2f(x)$.

Но $x^2f(x)=f(f(x))$. Тогда $f(x^2)=f(f(x))$ или $x^2=|f(x)|$. Пусть для какого-то $x_{0}$, $f(x_{0})=x_{0}^{2}$ (где $x_{0}\ne0$). Тогда при $P(x_{0},x_{0})$:

$f(2x_{0}^{2})=0$, тогда $2x_{0}^2=0$. Противоречие. Тогда для всех $x$ $f(x)=-x^2$.