Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс


Найти все функции f:RR, для которых при любых вещественных x и y справедливо равенство f(x2+f(y))=(xy)2f(x+y).
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
5 года 9 месяца назад #

Ответ:f(x)=0;f(x)=x2

Пусть P(x;y) это данное равенство. Тогда при P(0;x) f(f(x))=x2f(x). Пусть мы нашли такие a и b, что f(a)=f(b). Тогда a2f(a)=f(f(a))=f(f(b))=b2f(b), откуда f(a)(a2b2)=0. Если f(a)=0, тогда одно из решений f(x)=0, а если a2b2=0, тогда |a|=|b|. Тогда при P(0;0):

f(f(0))=0.

И при P(0;f(0)):

f(0)=0.

Тогда при P(x;0):

f(x2)=x2f(x).

Но x2f(x)=f(f(x)). Тогда f(x2)=f(f(x)) или x2=|f(x)|. Пусть для какого-то x0, f(x0)=x20 (где x00). Тогда при P(x0,x0):

f(2x20)=0, тогда 2x20=0. Противоречие. Тогда для всех x f(x)=x2.