Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 10 класс

Задача №1. Назовем фигуру

$\it{крестиком}$ , если она получается удалением угловых клеток из таблицы

$3 \times 3$ . Какое наибольшее число крестиков можно без наложений расположить на квадратной доске

Задача №2. Докажите, что для любых действительных чисел

$x_1, x_2,. . . , x_{n}$ справедливо неравенство:

$\displaylines{\frac{x_1}{1+{x_1}^{2}}+\frac{x_2}{1+{x_1}^{2} +{x_2}^{2}}+. . . +\frac{x_n}{1+{x_1}^2+. . . {x_n}^2} < \sqrt n.}$
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите наименьшее число

$c$ , удовлетворяющее следующему свойству: на сторонах любого треугольника с периметром 1 можно найти две точки, делящие периметр пополам и отстоящие друг от друга на расстоянии не больше

$c$ .
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что существует множество

$A$ состоящее из 2002 различных натуральных чисел, удовлетворяющее условию: для каждого

$a\in A$ произведение всех чисел из

$A$ , кроме

$a$ , при делении на

$a$ дает остаток 1.
комментарий/решение

Задача №5. Найти все функции

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ для которых при любых вещественных

$x$ и

$y$ справедливо равенство

$f(x^2+f(y))=(x-y)^2 \cdot f(x+y).$
комментарий/решение(1)

Задача №6. На плоскости дан остроугольный треугольник

$ABC$ . Пусть

$A_1$ и

$B_1$ — основания высот опущенных из вершин

$A$ и

$B$ соответственно. Касательные в точках

$A_1$ и

$B_1$ , проведенные к окружности описанной около треугольника

$CA_1B_1$ пересекаются в точке

$M$ . Докажите, что окружности, описанные около треугольников

$AMB_1$ ,

$BMA_1$ и

$CA_1B_1$ имеют общую точку.
комментарий/решение

Задача №7. Пусть

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$a+b-c$ ,

$a+c-b$ ,

$b+c-a$ ,

$a+b+c$ — различные простые числа такие, что сумма двух чисел из

${a, b, c}$ равна 800. Обозначим через

$d$ разность между наибольшим и наименьшим этих семи чисел. Найдите максимально возможное значение

$d$ .
комментарий/решение

Задача №8. В ряд выстроены

$n$ кузнечиков. В любой момент разрешается одному кузнечику перепрыгнуть ровно через двух кузнечиков стоящих справа или слева от него. При каких

$n$ кузнечики могут перестроиться в обратном порядке? ( А. Кунгожин )
комментарий/решение